用定义计算 $\int_0^1 x^2 \, dx$

题目

直接由 Riemann 积分定义（ANL-DEF-026）计算

$${\int }_0^1{x}^{2}dx.$$

要求用 Riemann 和的极限论证（不直接用 ANL-THM-032 N-L 公式）。

分析

虽然 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$ 可用 N-L 一秒得出 $1/3$，但本题旨在展示定义如何工作：

1. 取等距分割 $P_n:x_i=i/n$（$i=0,1,\dots ,n$），$\Delta x_i=1/n$
2. 选右端点标记 ${\xi }_i=x_i=i/n$
3. 计算 Riemann 和 $S_n={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i={\sum }_{i=1}^n(i/n{)}^2\cdot (1/n)$
4. 用平方求和公式 ${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 化简
5. 取 $n\to \infty$ 极限得 $1/3$
6. 关键：证明对任意分割与标记结果一致——这才是 Riemann 可积的精确含义。 由 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续（ANL-THM-027 保证可积）， 只需对一个特殊序列（等距 + 右端点）算出极限即可——其他分割与标记由可积性自动收敛到同一值。

证明 / 解答

解： $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续，由 ANL-THM-027，$f$ Riemann 可积。 故对任意分割 $P_n$（$\Vert P_n\Vert \to 0$）与任意标记，Riemann 和都收敛到同一极限 ${\int }_0^1{x}^{2}dx$。

取等距分割 + 右端点标记：$P_n:x_i=i/n$，${\xi }_i=i/n$，$\Delta x_i=1/n$。

Riemann 和：

$$S_n=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=1}^n{i}^2.$$

代入平方求和公式 $\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$：

$$S_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}.$$

化简：

$$S_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}.$$

故

$${\int }_0^1{x}^{2}dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{3}.■$$

验证（用 Darboux 上下和夹逼）

严谨者通常希望验证：上下和都收敛到 $1/3$。

下和（左端点标记，对 $f$ 递增的函数等于下确界标记）：

$$L_n=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{i-1}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\sum _{i=0}^{n-1}{i}^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}\to \frac{1}{3}.$$

上和（右端点 = 上确界，由 $f$ 递增）：

$$U_n=S_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\to \frac{1}{3}.$$

$U_n-L_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{[n(n+1)(2n+1)-(n-1)n(2n-1)]}{6}=\frac{1}{n^3}\cdot n^2=\frac{1}{n}\to 0$， 故由 ANL-THM-026 Darboux 准则确认可积，且两侧极限同为 $1/3$。$■$

关键技巧

• 平方求和公式：${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（高中代数 / 数学归纳法可证） 类似地 ${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$、${\sum }_{i=1}^n{i}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2$
• 等距分割是计算 Riemann 和的标准选择：让所有 $\Delta x_i$ 化为常数 $1/n$，可提到求和外部
• "$\Vert P\Vert \to 0$"在等距分割下退化为"$n\to \infty$"——把”分割模”问题转化为”自然数极限”问题

变式

• 变式 1：用定义计算 ${\int }_0^{1}xdx=1/2$。提示：$\sum i=n(n+1)/2$
• 变式 2：用定义计算 ${\int }_0^1{x}^{3}dx=1/4$。提示：$\sum i^3=[n(n+1)/2{]}^2$
• 变式 3：用定义计算 ${\int }_a^b{x}^{2}dx=(b^3-a^3)/3$。提示：等距 $x_i=a+i(b-a)/n$
• 变式 4：用定义计算 ${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$。 提示：${\xi }_i=i/n$，Riemann 和 ${\sum }_{i=1}^n{e}^{i/n}\cdot (1/n)$ = $(1/n)\cdot \frac{e^{1/n}(e-1)}{e^{1/n}-1}$（等比求和）； 用 $\frac{e^{1/n}-1}{1/n}\to 1$（$n\to \infty$）
• 变式 5：用定义计算 ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$。提示：用三角和差化积公式求和

反思

用定义计算积分只在简单函数上可行——一般函数的 Riemann 和形式未必能写成闭式。 这正凸显 ANL-THM-032 N-L 公式的价值：将”求和取极限”转化为”找原函数取端点差”。

但是定义法仍重要：

• 用于理论论证（如证明可积性、积分性质）
• 用于数值近似（数值积分本质就是计算 Riemann 和）
• 用于理解原理——离开了定义，N-L 公式就成了纯粹的”操作技巧”

链接

• 演示定义：ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 配合定义：ANL-DEF-023 Riemann 和、ANL-DEF-022 分割
• 对比方法：ANL-THM-032 N-L 公式（更快但脱离定义）
• 后续：ANL-EX-012、ANL-EX-013 用 N-L 与计算法则求积分