换元积分法

条件与结论

不定积分换元（第一类换元法 / 凑微分）

条件：$g$ 在区间 $I$ 上可导（ANL-DEF-014），$f$ 在 $g(I)$ 上连续。

结论：

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du{|}_{u=g(x)}=F(g(x))+C,$$

其中 $F$ 是 $f$ 的任一原函数（ANL-DEF-028）。

凑微分：把 $g^{\prime }(x)dx$ 视为 $du$（即 $du=g^{\prime }(x)dx$），从而把外部对 $x$ 的积分”换成”对 $u$ 的积分。

定积分换元（第二类换元法）

条件：$g:[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$ 连续可导（即 $g^{\prime }$ 连续），$g(\alpha )=a$, $g(\beta )=b$；$f$ 在 $[a,b]$ 上连续。

结论：

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t))g^{\prime }(t)dt={\int }_a^{b}f(u)du.$$

定积分换元的关键：

• 上下限随之改变：$x=\alpha \mapsto u=a$，$x=\beta \mapsto u=b$
• 不需要 $g$ 可逆或单调——只需 $g$ 连续可导

第二类换元（“反过来”用）：若想从 $\int f(u)du$ 出发凑出 $g$，常令 $u=g(t)$， 整体替换为 $\int f(g(t))g^{\prime }(t)dt$，再求新的积分（要求 $g$ 单调以保证可逆）。

几何/直觉理解

换元法是 ANL-THM-018 链式法则的”逆向应用”—— 链式法则告诉你 $(F\circ g{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)=f(g(x))g^{\prime }(x)$， 反过来积分就得到换元公式。

物理画面（粗略）：要计算 $\int fdu$，但 $u$ 用 $x$ 的函数 $u=g(x)$ 描述， 则把 $du$ 展开为 $g^{\prime }(x)dx$，整体改写为对 $x$ 的积分；反之亦然。

证明

不定积分版本

证明： 设 $F$ 是 $f$ 的原函数，即 $F^{\prime }(u)=f(u)$。

由 ANL-THM-018 链式法则：

$$\frac{d}{dx}F(g(x))=F^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=f(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$

故 $F\circ g$ 是 $f(g(x))g^{\prime }(x)$ 的原函数，由 ANL-DEF-028：

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+C.■$$

定积分版本

证明： 设 $F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的原函数（由 $f$ 连续 + ANL-THM-031 变限积分给出）。

由链式法则，$F\circ g$ 是 $f(g(t))g^{\prime }(t)$ 的原函数。

由 ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式（应用两次）：

$${\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t))g^{\prime }(t)dt=F(g(t)){|}_{\alpha }^{\beta }=F(g(\beta ))-F(g(\alpha ))=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(u)du.■$$

常见错误

• ✗ 漏掉上下限替换。 错误：${\int }_0^{1}2x\cos (x^2)dx\ne {\int }_0^1\cos udu$（左换元 $u=x^2$，右上下限错误）。 正确：$u=x^2\Rightarrow x:0\to 1$ 时 $u:0\to 1$，故 ${\int }_0^1\cos udu=\sin 1$。 幸运地此例上下限不变；若 ${\int }_0^{2}2x\cos (x^2)dx$ 则 $u:0\to 4$，结果完全不同。
• ✗ 漏掉 $g^{\prime }(x)$ 因子或写成错误形式。 错误："$\int \cos (x^2)dx=\int \cos udu$"——这是错的，缺 $g^{\prime }(x)=2x$ 因子。 正确：$\int 2x\cos (x^2)dx=\int \cos udu$，但 $\int \cos (x^2)dx$ 不能通过初等换元化简为初等函数的积分（事实上是 Fresnel 积分）。
• ✗ 第二类换元漏单调性。 $\int f(u)du$ 试图换 $u=g(t)$，必须保证 $g$ 在所考虑的范围单调（一一对应），否则换元后区间映射模糊。
• ✗ 把”$x=g(t)$ 换元”与”$t=h(x)$ 换元”混淆。 本质相同（互为反函数），但具体写时上下限替换方向不同——务必算一遍 $x=\alpha$ 时 $t$ 是多少。

推论与应用

• 第一类换元（凑微分）：识别被积函数中”内函数 + 内函数导数”的结构。常见模式：

  凑出形式	例
  $f(g(x))g^{\prime }(x)$	$\int 2x\sin (x^2)dx$（$g=x^2$）
  $\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$	$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$（$g=\cos x$）
  $g^{\prime }(x)e^{g(x)}$	$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}+C$
  $\frac{g^{\prime }(x)}{1+g(x{)}^2}$	$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx=\arctan (e^x)+C$

• 第二类换元（变量代换）：常见三角代换：

  被积函数含	代换	化为
  $\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$a\cos t$
  $\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$a\sec t$
  $\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$a\tan t$

• 应用例题：ANL-EX-012

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积、ANL-DEF-028 原函数、ANL-THM-018 链式法则、ANL-THM-027、ANL-THM-032 N-L 公式
• 配合：ANL-THM-034 分部积分法
• 应用：ANL-EX-012 换元积分典型范例