分部积分典型范例（含递推与 Wallis）

题目

用ANL-THM-034分部积分法计算下列积分：

1. 基础：$\int x{e}^{x}dx$
2. 对数型：$\int \ln xdx$
3. 重复分部：$\int x^2{e}^{x}dx$
4. 递推（Wallis 公式构造）：建立 $I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ 的递推公式

分析

按 LIATE 选 $u$ 经验法则（ANL-THM-034）选择：

• 第 1 题：$x\cdot e^x$ 中代数 (A) > 指数 (E)，选 $u=x$, $dv=e^{x}dx$
• 第 2 题：$\ln x$ 单独看，选 $u=\ln x$, $dv=dx$（凑出”原函数为 $x$”）
• 第 3 题：连续两次 LIATE，每次代数项的”次数”降一阶
• 第 4 题：递推积分的标准模式——“分部一次，把 $n$ 阶降到 $n-2$ 阶”

证明 / 解答

第 1 题：$\int x{e}^{x}dx$

解： 选 $u=x$, $dv=e^{x}dx$ ⇒ $du=dx$, $v=e^x$。

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C.■$$

检验：$[(x-1)e^x{]}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$ ✓

第 2 题：$\int \ln xdx$

解： 选 $u=\ln x$, $dv=dx$ ⇒ $du=\frac{1}{x}dx$, $v=x$。

$$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-\int dx=x\ln x-x+C.■$$

教训：当被积函数是单个对数 / 反三角函数（无显式 $dv$）时，选 $dv=dx$（即 $v=x$）。 这是 LIATE 法则中”L 优先”的典型应用。

第 3 题：$\int x^2{e}^{x}dx$

解： 选 $u=x^2$, $dv=e^{x}dx$ ⇒ $du=2xdx$, $v=e^x$。

$$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx.$$

剩下的 $\int 2x{e}^{x}dx=2(x-1)e^x+C^{\prime }$（由第 1 题）。代入：

$$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2(x-1)e^x+C=(x^2-2x+2)e^x+C.■$$

关键：每分部一次代数次数 $n\to n-1$；$n$ 阶代数 $\times$ 指数 / 三角的积分需分部 $n$ 次。 用表格法可加速：交替微分 $x^n$ 列与积分 $e^x$ 列，对角相乘求和。

第 4 题：$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ 的递推（$n\ge 2$）

解： 写 ${\sin }^{n}x={\sin }^{n-1}x\cdot \sin x$。选

$$u={\sin }^{n-1}x,dv=\sin xdx\Rightarrow du=(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx,v=-\cos x.$$

定积分分部：

$$I_n=[-{\sin }^{n-1}x\cdot \cos x{]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx.$$

端点值：$x=\pi /2$ 时 $\cos x=0$；$x=0$ 时 $\sin x=0$（$n\ge 2$ ⇒ ${\sin }^{n-1}0=0$）。两端都为 $0$。

故

$$I_n=(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x\cdot (1-{\sin }^{2}x)dx=(n-1)[I_{n-2}-I_n].$$

整理：

$$I_n+(n-1)I_n=(n-1)I_{n-2}\Rightarrow \boxed{I_n=\frac{n-1}{n}\cdot I_{n-2}.}$$

初值：

• $I_0={\int }_0^{\pi /2}1dx=\pi /2$
• $I_1={\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$

展开（$n$ 偶，$n=2k$）：

$$I_{2k}=\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k-3}{2k-2}\cdots \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\cdot \frac{\pi }{2}.$$

展开（$n$ 奇，$n=2k+1$）：

$$I_{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}\cdot \frac{2k-2}{2k-1}\cdots \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{(2k)!!}{(2k+1)!!}.$$

Wallis 公式：由 $I_n$ 单调（${\sin }^{n}x\in [0,1]\Rightarrow {\sin }^{n+1}\le {\sin }^n$）⇒ $I_{2k+1}\le I_{2k}\le I_{2k-1}$。 取比值并令 $k\to \infty$ 得：

$$\frac{\pi }{2}=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{(2k)!!\cdot (2k)!!}{(2k-1)!!\cdot (2k+1)!!}=\prod _{k=1}^{\infty }\frac{(2k{)}^2}{(2k-1)(2k+1)}.$$

这就是著名的 Wallis 乘积公式。$■$

关键技巧

• LIATE 选 $u$：Logarithm > Inverse trig > Algebraic > Trig > Exponential 优先级
• “凑出 $dv=dx$“：单个 $\ln x,\arctan x$ 等无显式 $dv$ 时的标准技巧
• 重复分部：代数项次数为 $n$ 时分部 $n$ 次（或用表格法加速）
• 递推积分：把 ${\sin }^n/x^n/{\ln }^n$ 等”指数变量”化为递推关系，是 $I_n$ 系列的核心方法
• ”${\sin }^n+{\cos }^n$ 平方关系”：第 4 题中 ${\sin }^{n-2}{\cos }^2={\sin }^{n-2}-{\sin }^n$ 的拆解是关键

变式

• 变式 1：$\int x\sin xdx$。答案：$-x\cos x+\sin x+C$（同 LIATE）
• 变式 2：$\int x^2\cos xdx$。重复分部两次，得 $(x^2-2)\sin x+2x\cos x+C$
• 变式 3：$\int e^x\sin xdx$ —— 两次分部后回到原积分（用解方程法）。 设 $J=\int e^x\sin xdx$。分部两次：$J=e^x\sin x-e^x\cos x-J\Rightarrow J=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$
• 变式 4：建立 $J_n=\int x^n{e}^{x}dx$ 的递推。提示：$J_n=x^n{e}^x-n{J}_{n-1}$
• 变式 5：建立 $K_n={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$ 的递推 — 由对称性 $K_n=I_n$
• 变式 6（高阶）：用 Wallis 公式证 $n!\sim \sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n$（Stirling 公式的弱形式）

链接

• 演示定理：ANL-THM-034 分部积分法
• 配合定理：ANL-THM-032 N-L 公式
• 关联：ANL-EX-012 换元积分典型范例
• 进阶：Wallis 公式 → Stirling 渐近公式（不在本知识库范围）