分部积分法

条件与结论

不定积分版

条件：$u,v$ 在区间 $I$ 上连续可导（即 $u^{\prime },v^{\prime }$ 都连续）。

结论：

$$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx.$$

差分形式（Leibniz 记号）：$\int udv=uv-\int vdu$。

定积分版

条件：$u,v$ 在 $[a,b]$ 上连续可导。

结论：

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-{\int }_a^{b}v{u}^{\prime }dx.$$

几何/直觉理解

分部积分是 ANL-THM-017 求导的乘积法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 的”逆向应用”。 把乘积法则两边对 $x$ 积分：

$$\int (uv{)}^{\prime }dx=\int u^{\prime }vdx+\int u{v}^{\prime }dx,$$

由 ANL-DEF-028，$\int (uv{)}^{\prime }dx=uv+C$。整理即得分部积分公式。

使用直觉：当遇到 $\int (\text{乘积})dx$，分部把”积分负担”从一边推到另一边—— “把 $u{v}^{\prime }$ 化为 $v{u}^{\prime }$”。 选择哪个为 $u$（求导方）、哪个为 $dv$（积分方）取决于哪种更简化。

证明

定积分版（不定积分版可由 ANL-DEF-028 约束推出）

证明： 由 ANL-THM-017 求导乘积法则，对所有 $x\in [a,b]$：

$$(uv{)}^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x).$$

由 $u,v,u^{\prime },v^{\prime }$ 都连续，$(uv{)}^{\prime }$ 也连续，故在 $[a,b]$ 上可积（ANL-THM-027）。 对两边在 $[a,b]$ 上积分：

$${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }(x)dx={\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx+{\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx.$$

左边由 ANL-THM-032 N-L 公式：${\int }_a^b(uv{)}^{\prime }dx=u(x)v(x){|}_a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)$。

整理：

$${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx.■$$

常见错误

• ✗ 选择 $u,dv$ 后没有简化。 $\int x\cos xdx$：选 $u=x,dv=\cos xdx$ ⇒ $du=dx,v=\sin x$， $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$ ✓ 错误选择：$u=\cos x,dv=xdx$ ⇒ $du=-\sin xdx,v=x^2/2$， 原积分 = $\frac{x^2\cos x}{2}+\int \frac{x^2\sin x}{2}dx$ — 更复杂！
• ✗ 遗忘"$+C$"（不定积分时）。
• ✗ 定积分版漏掉端点的 $u(x)v(x){|}_a^b$ 项。 常见错误：${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=-{\int }_0^1{e}^{x}dx=-(e-1)$（漏掉 $x{e}^x{|}_0^1=e$）。 正确：$=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$。
• ✗ 与 ANL-THM-033 换元法搞混。 分部针对乘积形式（$\int udv$）；换元针对复合形式（$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx$）。 实战中两者常结合使用——先换元再分部，或反之。

推论与应用

• 常用 LIATE 选 $u$ 经验法则（按优先级，能选作 $u$ 的优先是更靠前的）：

  字母	函数类型	例
  L	对数 (Logarithm)	$\ln x$
  I	反三角 (Inverse trig)	$\arctan x,\arcsin x$
  A	代数 (Algebraic)	$x^n$（多项式）
  T	三角 (Trig)	$\sin x,\cos x$
  E	指数 (Exponential)	$e^x,a^x$

  例：$\int x\ln xdx$，按 LIATE 选 $u=\ln x$（L），$dv=xdx$。

• 递推积分：分部积分用于建立递推公式，如：

  • $I_n=\int x^n{e}^{x}dx\Rightarrow I_n=x^n{e}^x-n{I}_{n-1}$
  • $I_n=\int {\sin }^{n}xdx$（Wallis 公式的来源）

• 应用例题：ANL-EX-013

链接

• 前置：ANL-DEF-026、ANL-DEF-028、ANL-THM-017 求导乘积法则、ANL-THM-027、ANL-THM-032 N-L 公式
• 配合：ANL-THM-033 换元积分法
• 应用：ANL-EX-013 分部积分典型范例