反常积分敛散性判别（含 Γ 函数引入）

题目

判定下列反常积分的敛散性。前两题练习 p-判别与比较判别（ANL-THM-035），后两题引入 Γ 函数：

1. ${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$（讨论 $p$）—— 已在 ANL-DEF-029 给出，用作工具
2. ${\int }_1^{+\infty }\frac{x}{1+x^4}dx$
3. $\Gamma (s):={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$（讨论 $s$ 取值范围）
4. ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

分析

• 第 1 题：直接 p-判别（ANL-DEF-029）—— 收敛 $⟺p>1$
• 第 2 题：识别”$1/x^3$ 量级衰减”，用极限形比较判别归约到 p-判别
• 第 3 题：拆为 $[0,1]$ 瑕积分（在 $0$ 附近 $\sim x^{s-1}$）+ $[1,+\infty )$ 无穷限（被 $e^{-x}$ 控制）—— 双判
• 第 4 题：高斯积分。$x^2$ 增长够快，$e^{-x^2}$ 衰减极快——用比较判别归约到 $\int e^{-x}$

证明 / 解答

第 1 题（p-判别复习）

由 ANL-DEF-029，${\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}$ 收敛 $⟺p>1$，且收敛值 $\frac{1}{p-1}$。

第 2 题：${\int }_1^{+\infty }\frac{x}{1+x^4}dx$

解： 当 $x\to +\infty$，$\frac{x}{1+x^4}\sim \frac{x}{x^4}=\frac{1}{x^3}$。 即

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x/(1+x^4)}{1/x^3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4}{1+x^4}=1.$$

由 ANL-THM-035 极限形比较判别（$c=1\in (0,+\infty )$），${\int }_1^{\infty }\frac{x}{1+x^4}dx$ 与 ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^3}dx$ 同时收敛或同时发散。

由 $p$-判别（$p=3>1$），${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^3}dx$ 收敛。故原积分收敛。$■$

第 3 题：Γ 函数收敛域

解： $\Gamma (s)={\int }_0^1{x}^{s-1}{e}^{-x}dx+{\int }_1^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$（拆点 $1$ 任意）。

${\int }_1^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$：由 $e^{-x}$ 衰减极快，对任何 $s\in \mathbb{R}$ 都收敛。 具体：${\lim }_{x\to \infty }{x}^{s+1}\cdot x^{s-1}{e}^{-x}/1=\lim x^{s+1}\cdot \text{(decreasing)}$ 不严谨， 更精确地：取 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$ with $N>s-1$，对 $x$ 充分大 $x^{s-1}{e}^{-x}\le x^N{e}^{-x}$， 而 ${\lim }_{x\to \infty }{x}^N{e}^{-x}=0$（指数衰减压制多项式）。 具体地有 $x^N{e}^{-x}\le e^{-x/2}$ 对充分大 $x$，由比较 + $\int e^{-x/2}$ 收敛得本积分收敛。

${\int }_0^1{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$：在 $0$ 附近 $e^{-x}\to 1$，故 $x^{s-1}{e}^{-x}\sim x^{s-1}$。

由 ANL-DEF-030 瑕积分 p-判别（瑕点在 $0$，${\int }_0^1{x}^{s-1}dx={\int }_0^1\frac{1}{x^{1-s}}dx$ 收敛 $⟺1-s<1⟺s>0$）。

合并：$\Gamma (s)$ 收敛 $⟺s>0$。$■$

Γ 函数的关键性质（仅声明，证明留作变式）：

性质	表达式
递推	$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$（用分部积分）
阶乘推广	$\Gamma (n+1)=n!$（$n\in \mathbb{N}$）
半整数	$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$（用第 4 题 + 换元）

第 4 题：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

解： $e^{-x^2}$ 在 $[0,+\infty )$ 上连续有界（$\le 1$），唯一可能”反常”的是 $x\to +\infty$ 处。

比较：$x\ge 1$ 时 $x^2\ge x$，故 $e^{-x^2}\le e^{-x}$。

由 ${\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx=e^{-1}$（收敛）+ ANL-THM-035 比较判别，${\int }_1^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$ 收敛。

加上 ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$（普通定积分，$e^{-x^2}$ 在 $[0,1]$ 连续），${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$ 收敛。

附注（不证）：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$（高斯积分）。 证明需用 ${\left(\int e^{-x^2}dx\right)}^2=\iint e^{-(x^2+y^2)}dxdy$ + 极坐标——属多元积分（M2+ 范围）。 这与 $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$ 关联：换元 $x=\sqrt{t}$ 得 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma (1/2)$。

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关键技巧

• 极限形比较判别：把复杂被积函数与”$1/x^p$ 标准件”配对，看比值极限
• 拆区间处理 Γ 函数：含瑕 + 含无穷的反常积分必须分两段判别——任一段发散整个发散
• 指数衰减压制一切多项式：对任意 $s$，$x^s{e}^{-x}\to 0$（$x\to \infty$）。这是处理 $e^{-x}$、$e^{-x^2}$ 类积分的杀手锏
• “标准件”工具箱：${\int }_1^{\infty }1/x^p$, ${\int }_0^{1}1/x^p$, ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}$ 是判别工具

变式

• 变式 1：判定 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\ln x}{x^2}dx$。提示：$\ln x\le x^{1/2}$（充分大 $x$），归约到 $\int 1/x^{3/2}$
• 变式 2：证明 $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$。提示：$\Gamma (s+1)={\int }_0^{\infty }{x}^s{e}^{-x}dx$，分部积分（$u=x^s,dv=e^{-x}dx$）
• 变式 3：用变式 2 + $\Gamma (1)=1$ 推 $\Gamma (n+1)=n!$。
• 变式 4：判定 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\ln (1+x^2)}{x^2}dx$。提示：$0$ 处 $\sim 1$（无瑕），$\infty$ 处 $\sim 2\ln x/x^2$
• 变式 5（综合）：${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^p(1+x{)}^q}dx$ 收敛条件—— $0$ 处 $\sim 1/x^p$，$\infty$ 处 $\sim 1/x^{p+q}$，故收敛 $⟺p<1$ 且 $p+q>1$

链接

• 演示定理：ANL-THM-035 反常积分判别法
• 配合定义：ANL-DEF-029、ANL-DEF-030
• 后续：ANL-EX-015 $\int \sin x/x$（条件收敛例）
• 进阶：高斯积分的二维 + 极坐标证法（多元积分）