反常积分（瑕积分 / 无界函数）

定义陈述

设 $f:(a,b]\to \mathbb{R}$（或 $[a,b)$），$f$ 在 $a$ 附近无界——即 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }|f(x)|=+\infty$。 此时称 $a$ 为 $f$ 的瑕点（singular point）。 设 $f$ 在 $[a+\epsilon ,b]$ 上对每个 $\epsilon >0$ 都 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。瑕积分

$${\int }_a^{b}f(x)dx:=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx.$$

若极限存在且有限，称瑕积分收敛；否则发散。

瑕点在 $b$（右端）

类似地：

$${\int }_a^{b}f(x)dx:=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)dx.$$

瑕点在内部

若 $c\in (a,b)$ 是瑕点：

$${\int }_a^{b}fdx:={\int }_a^{c}fdx+{\int }_c^{b}fdx,$$

其中右边两个分别是相应端点处的瑕积分。两边都收敛才称内点瑕积分收敛。

与无穷限反常积分（ANL-DEF-029）的双侧收敛要求完全平行。

经典：p-判别（瑕积分）

${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $⟺p<1$，且收敛值为 $\frac{1}{1-p}$。

证明：对 $p\ne 1$，${\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x^p}=\frac{x^{1-p}}{1-p}{|}_{\epsilon }^1=\frac{1-{\epsilon }^{1-p}}{1-p}$。

• $p<1$：${\epsilon }^{1-p}\to 0$（$\epsilon \to 0^{+}$），故收敛于 $\frac{1}{1-p}$
• $p>1$：${\epsilon }^{1-p}={\epsilon }^{-(p-1)}\to +\infty$，发散
• $p=1$：${\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x}=-\ln \epsilon \to +\infty$，发散 $■$

关键对比（与 ANL-DEF-029 无穷限的 p-判别恰好反向）：

形式	收敛条件
${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$	$p>1$
${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$	$p<1$

直觉：瑕点处需衰减”够慢”（$p$ 小），无穷处需衰减”够快”（$p$ 大）。

与相近概念的区别

概念	区间	函数
定积分（ANL-DEF-026）	有限	有界
反常积分（无穷限，ANL-DEF-029）	无界	有界（在每个有限子区间上）
瑕积分（本条目）	有限	在某点附近无界

直觉理解

瑕积分是”避开瑕点取极限”——从 $a+\epsilon$ 出发计算定积分（$f$ 在 $[a+\epsilon ,b]$ 上有界可积）， 然后让 $\epsilon \to 0^{+}$ 看是否收敛。

几何画面：曲线 $y=f(x)$ 在瑕点附近”飙到无穷”，曲线下方面积可能是有限或无穷。 若 $f$ 在瑕点附近奇异度不太强（如 $1/x^p$ with $p<1$），尽管函数无界，所夹面积仍有限； 反之（如 $1/x$、$1/x^2$）面积无穷。

临界：$p=1$ 是分水岭——$1/x$ 在 $0$ 附近发散。

复合反常积分

若区间既无穷又含瑕点（例如 ${\int }_0^{+\infty }$ + $f$ 在 $0$ 附近无界）， 需把区间拆为多段，每段单独处理。

Γ 函数即此例：

$$\Gamma (s):={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx={\int }_0^1+{\int }_1^{+\infty }.$$

• ${\int }_0^1{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$：瑕积分，$x\to 0^{+}$ 时 $\sim x^{s-1}$，由 $p$-判别收敛 $⟺s>0$
• ${\int }_1^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$：无穷限，$x\to \infty$ 时被 $e^{-x}$ 控制，对一切实 $s$ 收敛
• 合并：$\Gamma (s)$ 收敛 $⟺s>0$（详见 ANL-EX-014）

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 平行概念：ANL-DEF-029 反常积分（无穷限）
• 判别工具：ANL-THM-035 反常积分收敛判别（待写）
• 应用：ANL-EX-014 Γ 函数（含瑕 + 无穷限的复合反常积分）