反常积分收敛判别（比较 / Cauchy / Abel-Dirichlet）

三大类判别法

下文以 ANL-DEF-029 无穷限反常积分 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 为例。瑕积分 ANL-DEF-030 类似。

形式 1：Cauchy 收敛准则

设 $f$ 在 $[a, T]$ 上对每个 $T > a$ 都可积。则 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛 $⟺$ 对任意 $ε > 0$ ， $\exists M > a$ 使得对一切 $T_{2} > T_{1} > M$ ，
$\int_{T_{1}}^{T_{2}} f (x) d x < ε .$
与函数极限的 Cauchy 准则平行（ANL-THM-007 数列版），是判别”积分尾部任意小”的工具。

形式 2：比较判别法

设 $f, g$ 在 $[a, + \infty)$ 上非负，且对所有 $x \geq a$ （或仅”够大的 $x$ “）有 $0 \leq f (x) \leq g (x)$ 。

若 $\int_{a}^{+ \infty} g$ 收敛，则 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 收敛

若 $\int_{a}^{+ \infty} f$ 发散，则 $\int_{a}^{+ \infty} g$ 发散

极限形式（更实用）：

设 $f, g \geq 0$ 且 $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = c$ 。

若 $0 < c < + \infty$ ： $\int f$ 与 $\int g$ 同时收敛或同时发散

若 $c = 0$ ： $\int g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 收敛（” $f$ 比 $g$ 衰减更快”）

若 $c = + \infty$ ： $\int g$ 发散 $\Rightarrow$ $\int f$ 发散（” $f$ 衰减更慢”）

形式 3：Abel / Dirichlet 判别法

用于乘积形式 $\int f g$ 的收敛性，不要求 $f, g$ 保号。

Dirichlet 判别：

设

$f$ 在 $[a, + \infty)$ 上单调且 $x \to + \infty lim f (x) = 0$

$g$ 在 $[a, + \infty)$ 上可积，且其变限积分 $G (T) := \int_{a}^{T} g (x) d x$ 有界（不必收敛）

则 $\int_{a}^{+ \infty} f (x) g (x) d x$ 收敛。

Abel 判别：

设

$f$ 在 $[a, + \infty)$ 上单调有界

$\int_{a}^{+ \infty} g$ 收敛

则 $\int_{a}^{+ \infty} f g$ 收敛。

几何/直觉理解

Cauchy 准则：积分收敛 $⟺$ 尾部 $\int_{T_{1}}^{T_{2}} f$ 能任意小 — 把”收敛到某极限”的问题转为”尾部自身的 Cauchy 性”

比较判别：“正函数 + 谁衰减得快”： $f \leq g$ + $\int g$ 收敛 ⇒ $f$ 衰减不慢于 $g$ ⇒ $\int f$ 也收敛。类比数列版： $\sum a_{n}$ 收敛 + $0 \leq b_{n} \leq a_{n}$ ⇒ $\sum b_{n}$ 收敛。

Dirichlet 判别：” $f$ 衰减、 $g$ 振荡且部分和有界” 的情形—— 即使 $g$ 不可积（如 $g = sin x$ ），振荡 + $f$ 衰减仍可让乘积收敛。

证明（Dirichlet 判别）

仅证 Dirichlet（Abel 类似）。比较判别用单调有界（ANL-THM-006）；Cauchy 准则用极限的 Cauchy 性。

证明：用 Cauchy 收敛准则（形式 1）。任给 $ε > 0$ 。

由 $G$ 有界， $\exists M_{1} > 0$ 使 $∣ G (T) ∣ \leq M_{1}$ 对所有 $T \geq a$ ；故 $\int_{T_{1}}^{T_{2}} g = ∣ G (T_{2}) - G (T_{1}) ∣ \leq 2 M_{1}$ 。

由 $f \to 0$ （ $x \to \infty$ ）， $\exists T_{0} > a$ 使 $∣ f (x) ∣ < \frac{ε}{4 M _{1}}$ （ $x > T_{0}$ ）。

对 $T_{2} > T_{1} > T_{0}$ ，应用[第二积分中值定理（教材 §9.5 推广形式）] (本批未单独立条目，参 ANL-THM-030 推广提及)：

存在 $ξ \in [T_{1}, T_{2}]$ 使

\int_{T_{1}}^{T_{2}} f (x) g (x) d x = f (T_{1}) \int_{T_{1}}^{ξ} g d x + f (T_{2}) \int_{ξ}^{T_{2}} g d x .

每一项绝对值 $\leq ∣ f (T_{1}) ∣ \cdot 2 M_{1}$ 或 $∣ f (T_{2}) ∣ \cdot 2 M_{1}$ ，故

\int_{T_{1}}^{T_{2}} f g \leq ∣ f (T_{1}) ∣ \cdot 2 M_{1} + ∣ f (T_{2}) ∣ \cdot 2 M_{1} < \frac{ε}{4 M _{1}} \cdot 4 M_{1} = ε .

由 Cauchy 准则， $\int_{a}^{+ \infty} f g$ 收敛。 $■$

注：上述论证用到的”第二积分中值定理”是 ANL-THM-030 积分中值定理的推广形式（华师大 §9.5）。

常见错误

✗ 比较判别忽略保号条件。反例： $\int_{1}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ 收敛（条件收敛，ANL-EX-015），但 $\int_{1}^{\infty} \frac{∣ sin x ∣}{x} d x$ 发散——比较判别只能判定绝对收敛，不能判定条件收敛。
✗ Dirichlet 判别忽略” $f$ 单调”。反例： $f (x) = sin x / x$ ，虽然 $f \to 0$ 但不单调，Dirichlet 判别失效。 $\int (sin x / x) \cdot sin x d x$ 的收敛性需用其他方法。
✗ 混淆 Cauchy 准则与 Cauchy 主值。本条目的”Cauchy 准则”是收敛性判定；“Cauchy 主值积分”是另一种较弱的收敛概念（详见 ANL-DEF-029）。
✗ 用比较判别判定绝对收敛后误以为”原积分一定收敛”。对——绝对收敛确实蕴含收敛。但反过来：条件收敛不一定绝对收敛。

推论与应用

绝对收敛蕴含收敛： $\int ∣ f ∣$ 收敛 ⇒ $\int f$ 收敛（用比较判别 + $∣ f ∣, ∣ f ∣ - f, f - (- ∣ f ∣)$ 的拆分）
常见判别策略：
被判别推荐工具
$\int 1/ x^{p}$ 形 p-判别（直接计算）
$\int (多项式分式)$ 极限形比较判别
$\int (衰减 \times 振荡)$ Dirichlet 判别
$\int (衰减 \times 收敛积分)$ Abel 判别
应用：ANL-EX-014 Γ 函数（用比较判别）、ANL-EX-015 $\int sin x / x$ （用 Dirichlet）

被判别	推荐工具
$\int 1/ x^{p}$ 形	p-判别（直接计算）
$\int (多项式分式)$	极限形比较判别
$\int (衰减 \times 振荡)$	Dirichlet 判别
$\int (衰减 \times 收敛积分)$	Abel 判别

链接

前置：ANL-DEF-029 反常积分（无穷限）、ANL-DEF-030 瑕积分、ANL-THM-029 积分基本性质
应用：ANL-EX-014、ANL-EX-015
关联：ANL-THM-007 数列 Cauchy 准则（结构平行）、级数判别法（ANL-THM-038 等）

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