反常积分（无穷限）

定义陈述

上限为 $+\infty$

设 $f$ 在 $[a,T]$ 上对每个 $T>a$ 都 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。反常积分

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx:=\underset{T\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{T}f(x)dx.$$

若上述极限存在且有限，称反常积分收敛，其值即极限值；否则称发散。

下限为 $-\infty$

类似地：

$${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx:=\underset{T\to -\infty }{\lim }{\int }_T^{b}f(x)dx.$$

双侧无穷

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx:={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\infty }f(x)dx,$$

其中 $c\in \mathbb{R}$ 任意。两边都收敛才称双侧反常积分收敛——$c$ 的具体取值不影响结论。

重要：${\int }_{-\infty }^{+\infty }$ 收敛不是 ${\lim }_{T\to \infty }{\int }_{-T}^{T}f$。 后者称为主值积分（Cauchy principal value），与本定义不一致。 反例：$f(x)=x$ 时主值为 $0$，但 ${\int }_0^{\infty }xdx$ 与 ${\int }_{-\infty }^{0}xdx$ 都发散——故双侧反常积分发散。

经典：p-判别（无穷限）

${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$ 收敛 $⟺p>1$，且收敛值为 $\frac{1}{p-1}$。

证明：对 $p\ne 1$，${\int }_1^T\frac{dx}{x^p}=\frac{x^{1-p}}{1-p}{|}_1^T=\frac{T^{1-p}-1}{1-p}$。

• $p>1$：$T^{1-p}=T^{-(p-1)}\to 0$，故收敛于 $\frac{0-1}{1-p}=\frac{1}{p-1}$
• $p<1$：$T^{1-p}\to +\infty$，发散
• $p=1$：${\int }_1^T\frac{dx}{x}=\ln T\to +\infty$，发散 $■$

与相近概念的区别

概念	关键差别
定积分（ANL-DEF-026）	有限闭区间 + 有界函数
反常积分（无穷限）	区间无界（含 $\pm \infty$ 端点）+ 有限函数
反常积分（瑕积分，ANL-DEF-030）	有限区间 + 函数无界
主值积分 (PV)	对称取极限，比反常积分宽松

直觉理解

反常积分是”把无穷区间用有限区间逼近，再取极限”。 关键问题是：极限是否存在？是否有限？

几何画面：曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,+\infty )$ 之间所夹”无穷长”的面积。 若曲线衰减得够快（如 $1/x^p$ with $p>1$），无穷区域的面积仍是有限值； 若衰减不够快（$1/x$、$1/x^p$ with $p\le 1$），面积”积累成无穷”。

临界：$1/x$ 是分水岭——比 $1/x$ 衰减快即收敛，慢则发散。

性质

收敛的反常积分继承定积分的大部分性质（ANL-THM-029）：

• 线性性：${\int }_a^{\infty }(\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g$（若两侧反常积分都收敛）
• 区间可加性：${\int }_a^{\infty }f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{\infty }f$
• 单调性：$f\le g\Rightarrow \int f\le \int g$（在收敛前提下）
• 绝对收敛：若 $\int |f|$ 收敛，则 $\int f$ 收敛（反之不成立——见 ANL-EX-015 $\int \sin x/x$）

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 关联：ANL-DEF-030 瑕积分（另一种”反常”）
• 判别工具：ANL-THM-035 反常积分收敛判别（待写）
• 应用：ANL-EX-014 Γ 函数、ANL-EX-015 $\int \sin x/x$

跨专业应用

• 概率论：正态分布 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$ 是无穷限反常积分
• 物理：库仑势 $V=\int q/r^{2}dr$ 在 $r\to \infty$ 处收敛（$1/r$ 衰减恰好是临界，$1/r^2$ 比临界快一阶）
• 工程：Laplace 变换 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ 是反常积分