$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx$ 的收敛性（Dirichlet 积分）

题目

证明：

1. 收敛性：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛。
2. 非绝对收敛：${\int }_0^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=+\infty$。

即 Dirichlet 积分条件收敛而非绝对收敛。

附注（不需证明）：${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$。 严格证明需复分析（contour integral）或 Fourier 变换技术，超出本知识库 M2 范围。

分析

• 第 1 题：被积函数在 $0$ 附近有可去间断——${\lim }_{x\to 0}\sin x/x=1$（ANL-EX-008），延拓为 $f(0)=1$ 后连续，故 $[0,1]$ 上的积分不是反常的。 问题归于无穷限部分 ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$。 对此用 ANL-THM-035 Dirichlet 判别：

  • $f(x)=1/x$ 单调递减到 $0$
  • $g(x)=\sin x$，部分和 ${\int }_1^T\sin xdx=\cos 1-\cos T$ 有界（$\le 2$）

• 第 2 题：用周期性把 $\int |sinx|/x$ 拆为 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上的小段， 每段积分 $\ge \frac{c}{k+1}$（某常数 $c$），整体下界为发散调和级数

证明 / 解答

第 1 题：收敛性

Step 1：$0$ 处可去（不需用反常积分定义）。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1([[ANL-EX-008]]).$$

延拓 $f(0):=1$，$f$ 在 $[0,1]$ 上连续 ⇒ ${\int }_0^{1}f(x)dx$ 是普通定积分（ANL-THM-027）。

Step 2：${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛（Dirichlet 判别）。

• $f(x):=1/x$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递减且 ${\lim }_{x\to \infty }1/x=0$ ✓
• $g(x):=\sin x$，对所有 $T\ge 1$：$\left|{\int }_1^T\sin xdx\right|=|\cos 1-\cos T|\le |\cos 1|+1\le 2$ —— 部分和有界 ✓

由 ANL-THM-035 Dirichlet 判别，${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛。

Step 3：合并 ${\int }_0^{+\infty }={\int }_0^1+{\int }_1^{+\infty }$，两边都收敛，故 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ 收敛。$■$

第 2 题：非绝对收敛

目标：${\int }_0^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=+\infty$。

Step 1：把无穷区间分成 $\pi$ 周期段：

$${\int }_{\pi }^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\sum _{k=1}^{\infty }{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx.$$

Step 2：对每段下界估计。 在 $[k\pi ,(k+1)\pi ]$ 上 $1/x\ge \frac{1}{(k+1)\pi }$；故

$${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \frac{1}{(k+1)\pi }{\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin x|dx.$$

由周期性 ${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin x|dx={\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$（无论 $k$ 奇偶，因 $|\sin |$ 周期 $\pi$）。 故

$${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \frac{2}{(k+1)\pi }.$$

Step 3：求和。

$${\int }_{\pi }^{+\infty }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{(k+1)\pi }=\frac{2}{\pi }\sum _{k=2}^{\infty }\frac{1}{k}=+\infty$$

（调和级数 $\sum 1/k$ 发散）。

故 ${\int }_0^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx\ge {\int }_{\pi }^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=+\infty$。$■$

关键技巧

• 检查”$0$ 是真瑕点还是可去”：$\sin x/x$ 在 $0$ 处实际不奇异
• Dirichlet 判别的精髓：$g$ 不必收敛，部分和有界即可——这是处理”衰减 $\times$ 振荡”积分的标准工具
• 绝对收敛的破坏机制：”$|\sin x|$ 不变号”消除了振荡的”自抵消”，于是 $1/x$ 衰减不够快（恰为分水岭）就发散了
• 周期分段 + 调和级数下界：证明发散性的常见模板

变式

• 变式 1：证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\cos x}{x^p}dx$ 收敛 $⟺0<p\le 1$ 时条件收敛、$p>1$ 时绝对收敛。 提示：$0$ 处 $1/x^p$ 是瑕（$p>0$），用 Dirichlet（无穷处）+ 比较（$0$ 处）
• 变式 2：证明 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx$ 收敛。提示：仍用 Dirichlet + ${\int }_0^{1}1/\sqrt{x}$（瑕收敛）
• 变式 3：证明 ${\int }_0^{+\infty }\sin (x^2)dx$ 收敛（Fresnel 积分）。 提示：换元 $u=x^2$（$du=2xdx$），化为 ${\int }_0^{\infty }\frac{\sin u}{2\sqrt{u}}du$，再用 Dirichlet
• 变式 4：构造一个收敛但 $f(x)$ 在 $\infty$ 处不趋于 $0$ 的反常积分。 反例：$f$ 在 $[n,n+1/n^2]$ 上为 $1$，其余为 $0$。$\int f\le \sum 1/n^2<\infty$，但 $f$ 不趋于 $0$。 这与”级数收敛 ⇒ $a_n\to 0$“的不同——积分区域可以”瘦尖塔”

反思

Dirichlet 积分是条件收敛的代表性案例。它说明：

• 绝对收敛 ≠ 收敛：积分可能因”振荡自抵消”而收敛，即使绝对值积分发散
• Dirichlet 判别 ≠ 比较判别：处理无定号被积函数时，比较判别完全失效
• ${\int }_0^{\infty }\sin x/x=\pi /2$ 是分析学中最美的”非平凡定值”之一

同样的现象在级数中出现：$\sum (-1{)}^n/n$ 条件收敛但非绝对收敛—— Dirichlet 判别在级数（ANL-THM-043 待建于 M2 Ch5）有完全平行的形式。

链接

• 演示定理：ANL-THM-035 反常积分判别法
• 配合：ANL-DEF-029 无穷限反常积分
• 关联：ANL-EX-008 sin x / x 极限、ANL-EX-014 反常积分判别综合
• 进阶：积分值 $\pi /2$ 的复分析证明（contour integral，超出 M2 范围）
• 平行：级数版 Dirichlet 判别 ANL-THM-043（M2 Ch5 待建）