积分中值定理的应用：估值、极限与不等式

题目

1. 存在性应用：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续。证明存在 $\xi \in [a,b]$ 使

   $${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a),$$

   并说明为何这里 $\xi$ 可取到开区间 $(a,b)$ 内（当 $f$ 不为常数时）。

2. 极限计算：求

   $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx.$$

3. 加权中值定理：设 $f$ 连续、$g$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号（$g\ge 0$）。证明存在 $\xi \in [a,b]$ 使

   $${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)dx.$$

4. 第二中值定理应用：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调，$g$ 可积。利用积分第二中值定理证明：若 $\left|{\int }_a^{x}g\right|\le M$ 对一切 $x\in [a,b]$，则

   $$\left|{\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right|\le M(|f(a)|+2|f(b)|).$$

提示

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• 第 1 题：连续函数取到最值 $m,M$，由单调性 $m(b-a)\le {\int }_a^{b}f\le M(b-a)$，再用介值定理（ANL-THM-013）。开区间结论：若 $\xi$ 只能取端点会迫使 $f$ 恒等于平均值。
• 第 2 题：用加权中值定理（第 3 题，取 $g=x^n\ge 0$）写出 ${\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx=\frac{1}{1+{\xi }_n}\cdot \frac{1}{n+1}$，再夹逼。或直接估 $0\le \int \le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$。
• 第 3 题：与第 1 题同法，利用 $mg\le fg\le Mg$（$g\ge 0$ 是关键）后积分，再用介值定理。
• 第 4 题：积分第二中值定理（ANL-THM-030 推广形）：$f$ 单调时 ${\int }_a^{b}fg=f(a){\int }_a^{\eta }g+f(b){\int }_{\eta }^{b}g$。

解答

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第 1 题：积分第一中值定理

$f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，故取到最小值 $m$ 与最大值 $M$（最值定理）。由积分单调性（ANL-THM-029），对 $m\le f(x)\le M$ 积分：

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a),$$

即平均值 $\mu :=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f\in [m,M]$。由介值定理（ANL-THM-013），存在 $\xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi )=\mu$，即 ${\int }_a^{b}f=f(\xi )(b-a)$。$■$

开区间论断：若 $f$ 非常数，设 $f$ 在 $x_1$ 取 $m$、$x_2$ 取 $M$ 且 $m<M$。则 $\mu \in [m,M]$。

• 若 $m<\mu <M$：由介值定理 $f=\mu$ 的点必在 $x_1,x_2$ 之间，属 $(a,b)$。
• 若 $\mu =m$：则 ${\int }_a^b(f-m)=0$，而 $f-m\ge 0$ 连续 $\Rightarrow f\equiv m$，与非常数矛盾；$\mu =M$ 同理排除。

故 $\mu \in (m,M)$，$\xi$ 可取在 $(a,b)$ 内。

第 2 题：极限计算

被积函数在 $[0,1]$ 上满足 $0\le \frac{x^n}{1+x}\le x^n$（因 $1+x\ge 1$）。由单调性（ANL-THM-029）：

$$0\le {\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\stackrel{n\to \infty }{\to }0.$$

由夹逼，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx=0$。$■$

加权中值定理视角（第 3 题）：取 $f(x)=\frac{1}{1+x}$（连续），$g(x)=x^n\ge 0$，则存在 ${\xi }_n\in [0,1]$ 使 ${\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx=\frac{1}{1+{\xi }_n}{\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{1+{\xi }_n}\cdot \frac{1}{n+1}.$ 由 $\frac{1}{1+{\xi }_n}\in [\frac{1}{2},1]$ 有界，整体 $\to 0$，结论一致。

第 3 题：加权（推广）第一中值定理

$f$ 连续，取最值 $m,M$。因 $g\ge 0$，有 $mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$。积分（ANL-THM-029）：

$$m{\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}fg\le M{\int }_a^{b}g.$$

情形 ${\int }_a^{b}g=0$：上式夹出 ${\int }_a^{b}fg=0$，任取 $\xi$ 等式成立。

情形 ${\int }_a^{b}g>0$：令 $\mu =\frac{{\int }_a^{b}fg}{{\int }_a^{b}g}\in [m,M]$，由介值定理（ANL-THM-013）存在 $\xi$ 使 $f(\xi )=\mu$，即得证。$■$

第 4 题：积分第二中值定理应用

由积分第二中值定理（ANL-THM-030，$f$ 单调形式）：存在 $\eta \in [a,b]$ 使

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=f(a){\int }_a^{\eta }g(x)dx+f(b){\int }_{\eta }^{b}g(x)dx.$$

记 $G(x)={\int }_a^{x}g$，则 ${\int }_a^{\eta }g=G(\eta )$，${\int }_{\eta }^{b}g=G(b)-G(\eta )$，且 $|G(x)|\le M$。于是

$$\left|{\int }_a^{b}fg\right|\le |f(a)||G(\eta )|+|f(b)||G(b)-G(\eta )|\le |f(a)|M+|f(b)|(|G(b)|+|G(\eta )|).$$

由 $|G(b)|\le M,|G(\eta )|\le M$：

$$\left|{\int }_a^{b}fg\right|\le |f(a)|M+|f(b)|(M+M)=M(|f(a)|+2|f(b)|).■$$

考察点

• ANL-THM-030 积分第一中值定理（含加权形）与第二中值定理
• ANL-THM-013 介值定理——把”平均值落在 $[m,M]$“翻译成”被某点取到”
• ANL-THM-029 积分单调性是所有估值的出发点
• 夹逼法求含参积分极限
• “连续非负且积分为零 ⇒ 恒为零”导出严格开区间结论

备注

第一中值定理的几何意义：曲线 $y=f(x)$ 下方面积 ${\int }_a^{b}f$ 等于以 $f(\xi )$ 为高、$(b-a)$ 为底的矩形面积——存在某高度的矩形与曲边梯形等面积。

第二中值定理的威力：它是反常积分 Abel/Dirichlet 判别法（ANL-THM-035）的核心引擎——把”被积函数 $\times$ 单调因子”的积分用端点值 + 部分积分上界控制住，正是第 4 题不等式的来源。