变限积分求导综合：链式法则、L'Hospital 与 Leibniz 公式

题目

设 $f$ 连续，下列函数中 $u,v$ 均可导。

1. 复合上限：求 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x^2}\sin (t^2)dt$。

2. 双变限一般公式：证明

   $$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x),$$

   并据此求 $\frac{d}{dx}{\int }_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$（$x>1$）。

3. L’Hospital 与变限积分：求

   $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sin (t^2)dt}{x^3}.$$

4. 被积函数含参（Leibniz 规则）：设 $f$ 连续，定义 $F(x)={\int }_0^x(x-t)f(t)dt$。证明 $F$ 二阶可导且 $F^{\prime \prime }(x)=f(x)$，$F(0)=F^{\prime }(0)=0$。

提示

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• 第 1 题：记 $\Phi (y)={\int }_a^y\sin (t^2)dt$，由变限积分可微性（ANL-THM-031）${\Phi }^{\prime }(y)=\sin (y^2)$，再用链式法则（ANL-THM-018）$\frac{d}{dx}\Phi (x^2)$。
• 第 2 题：拆 ${\int }_u^v={\int }_c^v-{\int }_c^u$，各用第 1 题方法。
• 第 3 题：分子分母 $\to 0$，用 L’Hospital（ANL-THM-024）；分子求导用 ANL-THM-031，再用等价无穷小 $\sin (x^2)\sim x^2$。
• 第 4 题：先把 $F(x)=x{\int }_0^{x}f(t)dt-{\int }_0^{x}tf(t)dt$ 拆开（$x$ 提出积分号外），再逐项求导（乘积法则 + ANL-THM-031）。

解答

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第 1 题：复合上限

设 $\Phi (y)={\int }_a^y\sin (t^2)dt$。因 $\sin (t^2)$ 连续，由变限积分可微性（ANL-THM-031）${\Phi }^{\prime }(y)=\sin (y^2)$。所求为 $\frac{d}{dx}\Phi (x^2)$，由链式法则（ANL-THM-018）：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x^2}\sin (t^2)dt={\Phi }^{\prime }(x^2)\cdot (x^2{)}^{\prime }=\sin (x^4)\cdot 2x=2x\sin (x^4).■$$

第 2 题：双变限公式

取任一常数 $c$ 落在积分区间内。由区间可加性

$${\int }_{u(x)}^{v(x)}f={\int }_c^{v(x)}f-{\int }_c^{u(x)}f.$$

对每项用第 1 题方法（ANL-THM-031 + 链式法则 ANL-THM-018）：

$$\frac{d}{dx}{\int }_c^{v(x)}f=f(v(x))v^{\prime }(x),\frac{d}{dx}{\int }_c^{u(x)}f=f(u(x))u^{\prime }(x).$$

相减即得

$$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x).■$$

应用：${\int }_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}$，$f(t)=\frac{1}{\ln t}$，$u=x,v=x^2$：

$$\frac{d}{dx}{\int }_x^{x^2}\frac{dt}{\ln t}=\frac{1}{\ln (x^2)}\cdot 2x-\frac{1}{\ln x}\cdot 1=\frac{2x}{2\ln x}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x}.$$

第 3 题：L’Hospital 与变限积分

当 $x\to 0$，分子 ${\int }_0^x\sin (t^2)dt\to 0$，分母 $x^3\to 0$，为 $\frac{0}{0}$ 型。由 L’Hospital（ANL-THM-024），分子求导用 ANL-THM-031：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^x\sin (t^2)dt}{x^3}\stackrel{\text{L’H}}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x^2)}{3x^2}.$$

由等价无穷小 $\sin (x^2)\sim x^2$（$x\to 0$）：

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}.■$$

第 4 题：被积函数含参（Leibniz 规则）

把 $x$ 从积分号内提出（积分对 $t$ 进行，$x$ 视作常数）：

$$F(x)={\int }_0^x(x-t)f(t)dt=x\underset{=:G(x)}{\underbrace{{\int }_0^{x}f(t)dt}}-\underset{=:H(x)}{\underbrace{{\int }_0^{x}tf(t)dt}}.$$

$f$ 连续 $\Rightarrow$ $tf(t)$ 连续，由变限积分可微性（ANL-THM-031）：$G^{\prime }(x)=f(x),H^{\prime }(x)=xf(x)$。

一阶导（乘积法则）：

$$F^{\prime }(x)=(1\cdot G(x)+x{G}^{\prime }(x))-H^{\prime }(x)=G(x)+xf(x)-xf(x)=G(x)={\int }_0^{x}f(t)dt.$$

二阶导：再用 ANL-THM-031：

$$F^{\prime \prime }(x)=G^{\prime }(x)=f(x).$$

初值：$F(0)={\int }_0^0(0-t)f(t)dt=0$，$F^{\prime }(0)=G(0)={\int }_0^{0}f=0$。$■$

这说明 $F$ 是满足 $y^{\prime \prime }=f,y(0)=y^{\prime }(0)=0$ 的解——把二阶 ODE 的初值问题用”二重积分核 $(x-t)$“一次性写出，即 Duhamel/Cauchy 公式的一维特例。

考察点

• ANL-THM-031 变限积分函数的可微性 $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f=f(x)$
• ANL-THM-018 链式法则处理复合上下限
• ANL-THM-024 L’Hospital 法则与变限积分配合求极限
• 被积函数含参时”先把参数提出积分号”再用乘积法则（Leibniz 规则的初等版）
• 等价无穷小在最终极限化简中的使用

备注

三类变限积分求导小结：

形式	导数
$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt$	$f(x)$（ANL-THM-031）
$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$	$f(v)v^{\prime }-f(u)u^{\prime }$（本题第 2）
$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(x,t)dt$	${\int }_u^v{\partial }_{x}fdt+f(x,v)v^{\prime }-f(x,u)u^{\prime }$（一般 Leibniz，多元）

第三行的一般 Leibniz 规则需偏导（多元微积分），本题第 4 题是其”被积函数关于 $x$ 线性、可手工提出”的初等特例。变限积分求导是连接微分与积分的枢纽——它正是 Newton–Leibniz 公式（ANL-THM-032）成立的微观机制。