变限积分函数的连续性与可微性

条件与结论

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。定义变限积分函数

$$\Phi (x):={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b].$$

结论 1：连续性

$\Phi$ 在 $[a,b]$ 上连续（ANL-DEF-012），实际上是 Lipschitz 连续。

结论 2：可微性（微积分基本定理 Part 1）

若 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续，则 $\Phi$ 在 $x_0$ 处可导（ANL-DEF-014），且

$${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0).$$

特别地：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上处处连续，则 $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上处处可导， ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立——即 $\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数（ANL-DEF-028）。 这就是”连续 ⇒ 必有原函数”的存在性证明。

几何/直觉理解

变限积分：$\Phi (x)$ 是”从 $a$ 到 $x$ 曲线下方面积”的函数。 当 $x$ 增大一点 $\Delta x$，新增的面积近似为 $f(x)\Delta x$（小矩形）。 故 $\Phi$ 关于 $x$ 的瞬时变化率正是 $f(x)$——这是”积分与求导互逆”的几何直觉。

更精确：$\Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)={\int }_x^{x+\Delta x}f$， 由 ANL-THM-030 积分中值定理（$f$ 在小区间上连续），存在 $\xi$ 介于 $x$ 与 $x+\Delta x$ 之间使 ${\int }_x^{x+\Delta x}f=f(\xi )\Delta x$。 当 $\Delta x\to 0$，$\xi \to x$，由 $f$ 在 $x$ 连续 $f(\xi )\to f(x)$。 故 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$。

证明

证明（结论 1：Lipschitz 连续）

证明： $f$ 可积 ⇒ $f$ 有界，$\exists M>0$ 使 $|f(x)|\le M$ 对所有 $x\in [a,b]$。

对任意 $x_1,x_2\in [a,b]$（不妨 $x_1<x_2$），由 ANL-THM-029 区间可加性：

$$\Phi (x_2)-\Phi (x_1)={\int }_{x_1}^{x_2}f(t)dt.$$

由 ANL-THM-029 三角不等式与单调性：

$$|\Phi (x_2)-\Phi (x_1)|=\left|{\int }_{x_1}^{x_2}f\right|\le {\int }_{x_1}^{x_2}|f|\le M(x_2-x_1).$$

故 $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上以常数 $M$ Lipschitz 连续，从而连续。$■$

证明（结论 2：在连续点处可导）

证明： 设 $f$ 在 $x_0\in [a,b]$ 处连续。证 ${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0)$。

任给 $\epsilon >0$。由 $f$ 在 $x_0$ 连续，$\exists \delta >0$ 使 $|t-x_0|<\delta \Rightarrow |f(t)-f(x_0)|<\epsilon$。

对 $0<|\Delta x|<\delta$（不妨 $\Delta x>0$，反向类似），考察

$$\frac{\Phi (x_0+\Delta x)-\Phi (x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac{1}{\Delta x}{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt-f(x_0).$$

把 $f(x_0)$ 写为 $\frac{1}{\Delta x}{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt$（常数积分），合并：

$$=\frac{1}{\Delta x}{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt.$$

对 $t\in [x_0,x_0+\Delta x]$（在 $\delta$ 邻域内），$|f(t)-f(x_0)|<\epsilon$。由 ANL-THM-029 单调性 + 三角不等式：

$$\left|\frac{1}{\Delta x}{\int }_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\right|\le \frac{1}{\Delta x}\cdot \epsilon \cdot \Delta x=\epsilon .$$

故

$$\left|\frac{\Phi (x_0+\Delta x)-\Phi (x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|<\epsilon .$$

由 $\epsilon$ 任意，${\Phi }^{\prime }(x_0)$ 存在且 $=f(x_0)$。$■$

常见错误

• ✗ 误以为”$f$ 可积 ⇒ $\Phi$ 可导”。 反例：$f(x)=\text{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 可积，$\Phi (x)=|x|-1$（取 $a=-1$），但 $\Phi$ 在 $0$ 处不可导。 正确：可积仅给出 $\Phi$ 连续；可导需要 $f$ 在该点连续。
• ✗ 把”$\Phi$ 在 $x_0$ 可导 ⇒ $f$ 在 $x_0$ 连续”当作真命题。 事实：${\Phi }^{\prime }(x_0)$ 存在不蕴含 $f$ 在 $x_0$ 连续—— 反例：$f$ 在 $x_0$ 处可去间断（$\lim f(x)\ne f(x_0)$ 但极限存在）， ${\Phi }^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$，但 ${\Phi }^{\prime }$ 可能仍存在。
• ✗ 求 $\Phi (x)={\int }_a^{u(x)}f(t)dt$（变限是 $u(x)$）的导数时漏链式法则。 正确：${\Phi }^{\prime }(x)=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$（ANL-THM-018 链式法则）。
• ✗ 把 ${\int }_{u(x)}^{v(x)}f$ 拆分时方向错误。 正确：$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$（两端都要算 + 注意符号）。

推论与应用

• 推论 1（连续函数必有原函数）：$f\in C[a,b]$ ⇒ $\Phi (x)={\int }_a^{x}f$ 是 $f$ 的原函数（ANL-DEF-028）
• 推论 2（Newton-Leibniz 公式）：ANL-THM-032 由本定理与”原函数差为常数”导出
• 应用：积分上限函数的求导（含链式法则的复合形式）

链接

• 前置：ANL-DEF-026、ANL-DEF-014、ANL-DEF-012、ANL-DEF-028、ANL-THM-027、ANL-THM-029、ANL-THM-030
• 关键应用：ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式（本定理 + 原函数差为常数）
• 几何对偶：积分中值定理 ANL-THM-030 给出 $\Phi$ 增量的精确表达