单调函数 ⇒ Riemann 可积

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上单调（递增或递减）。

备注：单调函数自动有界——闭区间端点的函数值就是上下界。 故 Darboux 上下和、振幅等概念有意义。

结论

$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。

几何/直觉理解

单调函数的振幅有”望远镜抵消”效应： 不妨设 $f$ 单调递增，则在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上 $M_i=f(x_i)$、$m_i=f(x_{i-1})$， 故 ${\omega }_i=f(x_i)-f(x_{i-1})$。

振幅之和：

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i=\sum _{i=1}^n[f(x_i)-f(x_{i-1})]=f(b)-f(a),$$

这是一个与分割无关的常数！

故振幅加权和 $\sum {\omega }_i\Delta x_i\le \Vert P\Vert \cdot \sum {\omega }_i=\Vert P\Vert \cdot (f(b)-f(a))$， 当 $\Vert P\Vert \to 0$ 时趋于 $0$——由 ANL-THM-026 Darboux 准则即得可积。

证明

证明： 不妨设 $f$ 单调递增（递减情形对偶或考虑 $-f$）。

任给 $\epsilon >0$。

情形 1：$f(b)=f(a)$。$f$ 单调递增 + 端点相等 ⇒ $f$ 恒为常数 $f(a)$。常数函数显然可积，结论成立。

情形 2：$f(b)>f(a)$。取分割 $P$ 满足

$$\Vert P\Vert <\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}.$$

在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上由 $f$ 递增，$M_i=f(x_i)$、$m_i=f(x_{i-1})$，故

$${\omega }_i=f(x_i)-f(x_{i-1})\ge 0.$$

振幅加权和：

$$\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i\le \Vert P\Vert \cdot \sum _{i=1}^n{\omega }_i=\Vert P\Vert \cdot [f(b)-f(a)]<\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)}\cdot (f(b)-f(a))=\epsilon .$$

由 ANL-THM-026 Darboux 准则，$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。$■$

常见错误

• ✗ 把”单调”误读为”严格单调”。 本定理对非严格单调（允许相等）也成立——常数函数即极端例子。
• ✗ 误以为单调函数都连续。 反例：$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}$ 单调递增， 在 $0$ 处跳跃间断——但仍是 Riemann 可积的。 这恰恰说明本定理与 ANL-THM-027 互补：单调可积允许跳跃间断，连续可积允许非单调。
• ✗ 误以为单调可积函数的不连续点至多有限。 反例：单调函数的不连续点可以是可数无穷（比如 $f(x)={\sum }_{q_n<x}{2}^{-n}$，其中 $\{q_n\}$ 为 $[a,b]$ 中有理数）， 在每个 $q_n$ 处都跳跃。但仍 Riemann 可积——单调函数的不连续点至多可数（这是 Lebesgue 测度零）。

推论与应用

• 应用：分布函数 $F(x)=P(X\le x)$（概率论中）在 $\mathbb{R}$ 上单调递增 ⇒ 在任意闭区间上可积
• 比较（与 ANL-THM-027 的差异）：

  条件	不连续点	振荡
  连续	无	${\omega }_i\to 0$ uniformly
  单调	至多可数	$\sum {\omega }_i=f(b)-f(a)$ 有界

• 进阶：单调函数 = 有界变差（BV）的特殊情形——BV 函数也可积

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积、ANL-DEF-027 振幅、ANL-THM-026 Darboux 准则
• 关联：ANL-THM-027 闭区间连续 ⇒ 可积（互补的另一充分条件）
• 进阶：有界变差函数（BV）的可积性（不在本知识库 M2 范围）