闭区间连续 ⇒ Riemann 可积

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（ANL-DEF-012）。

结论

$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。

几何/直觉理解

连续函数在闭区间上不会”剧烈振荡”—— 由 ANL-THM-015 Cantor 一致连续定理，对任意 $\epsilon$，存在统一的 $\delta$ 使 $|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$。

把 $[a,b]$ 切成模长 $<\delta$ 的分割，每个子区间上 $f$ 的振幅 $<\epsilon$。 故振幅加权和 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon \cdot (b-a)$ 任意小，由 ANL-THM-026 Darboux 准则即得可积。

证明

证明： 由 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，由 ANL-THM-015 Cantor 一致连续定理， $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

任给 $\epsilon >0$。取 ${\epsilon }^{\prime }:=\epsilon /(b-a)$。 由一致连续，$\exists \delta >0$ 使

$$\forall x,y\in [a,b]:|x-y|<\delta ⟹|f(x)-f(y)|<{\epsilon }^{\prime }.$$

取分割 $P$ 满足 $\Vert P\Vert <\delta$。在每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上，$f$ 连续 ⇒ 取得最大与最小（ANL-THM-014 最值定理），设 $f(p_i)=M_i$、$f(q_i)=m_i$，其中 $p_i,q_i\in [x_{i-1},x_i]$。

由 $|p_i-q_i|\le \Delta x_i\le \Vert P\Vert <\delta$，

$${\omega }_i=M_i-m_i=f(p_i)-f(q_i)\le |f(p_i)-f(q_i)|<{\epsilon }^{\prime }.$$

故

$$U(f,P)-L(f,P)=\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i<{\epsilon }^{\prime }\sum \Delta x_i={\epsilon }^{\prime }(b-a)=\epsilon .$$

由 ANL-THM-026 Darboux 准则，$f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。$■$

常见错误

• ✗ 漏掉”闭区间”条件。 反例：$f(x)=1/x$ 在 $(0,1]$ 上连续但无界，${\omega }_i$ 在含 $0$ 的子区间上无穷大，定理失效。 开区间或半开半闭区间上的可积性需借助反常积分（ANL-DEF-029，待建）。
• ✗ 误以为闭区间上可积函数都连续。 反例：阶梯函数（如 $\text{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$）在 $0$ 处不连续，但仍可积—— Riemann 可积函数集严格大于连续函数集，含有限/可数个间断的有界函数。
• ✗ 不用 Cantor 直接试图证。 有人尝试：连续 $\Rightarrow$ 任意一致连续。错！——逐点连续不蕴含一致连续（ANL-DEF-024）。 必须明确使用 ANL-THM-015 Cantor 定理，闭区间是关键。

推论与应用

• 直接应用：所有初等函数（多项式、指数、三角、对数等）在其定义域内的闭区间上 Riemann 可积
• 加强：闭区间上有限多点不连续的有界函数仍可积——证明：把不连续点用小区间盖住，其余分段连续部分套用本定理
• 进阶比较：

  充分条件	来源
  $f$ 连续	本定理
  $f$ 单调	ANL-THM-028
  $f$ 有界 + 不连续点测度为零	Lebesgue 准则（进阶）

链接

• 前置：ANL-DEF-012 函数连续、ANL-DEF-026 Riemann 可积、ANL-THM-015 Cantor 一致连续、ANL-THM-026 Darboux 准则
• 关联：ANL-THM-028 单调可积（独立的另一充分条件）