Riemann 可积充要条件（Darboux 准则）

条件

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 有界。

结论

下列三个条件等价：

1. $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）；
2. $\overline{{\int }_a^b}f=\underline{{\int }_a^b}f$（ANL-DEF-025 上下积分相等）；
3. Darboux 准则：对任意 $\epsilon >0$，存在 $[a,b]$ 的分割 $P$ 使 $U(f,P)-L(f,P)={\sum }_{i=1}^n{\omega }_i(f)\cdot \Delta x_i<\epsilon ,$ 其中 ${\omega }_i(f)$ 是 $f$ 在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的振幅（ANL-DEF-027）。

几何/直觉理解

Darboux 准则把”可积性”转化为”上下和差能任意小”—— 即”外接矩形面积”与”内接矩形面积”能挤压到任意接近。

等价地：$\sum {\omega }_i\Delta x_i$ 度量”在每段子区间上 $f$ 的振幅 $\times$ 段长”—— 它是函数振荡程度的”加权和”，能任意小意味着 $f$ “几乎不振荡”或”振荡集合很薄”。

证明

仅证 1 ⇔ 3（最实用）。1 ⇔ 2 见 ANL-DEF-026。

证明（1 ⇒ 3）：设 $f$ 可积，$I:={\int }_a^{b}f$。任给 $\epsilon >0$。

由 ANL-DEF-026，$\exists \delta >0$ 使对任意 $\Vert P\Vert <\delta$ 与任意标记，$|S(f,P,\mathbf{\xi })-I|<\epsilon /4$。

固定一个 $\Vert P\Vert <\delta$ 的分割 $P$。在每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上：

• 取 $\mathbf{\xi }$ 使 ${\xi }_i$ 接近 $f$ 的最大点（由 sup 性质，对 $\epsilon /(4(b-a))$ 任意接近 $M_i$）： $f({\xi }_i)>M_i-\epsilon /(4(b-a))$ 故 $S(f,P,\mathbf{\xi })>U(f,P)-\epsilon /4$，得 $U(f,P)<S(f,P,\mathbf{\xi })+\epsilon /4<I+\epsilon /2$。
• 取 ${\mathbf{\xi }}^{\prime }$ 使 $f({\xi }_i^{\prime })<m_i+\epsilon /(4(b-a))$，类似得 $L(f,P)>I-\epsilon /2$。

合并：$U(f,P)-L(f,P)<(I+\epsilon /2)-(I-\epsilon /2)=\epsilon$。$■$

证明（3 ⇒ 1）：设 $\forall \epsilon ,\exists P_{\epsilon }$ 使 $U(f,P_{\epsilon })-L(f,P_{\epsilon })<\epsilon$。

记 $\overline{I}:=\overline{{\int }_a^b}f$，$\underline{I}:=\underline{{\int }_a^b}f$。 由 ANL-DEF-025 性质 $L(f,P_{\epsilon })\le \underline{I}\le \overline{I}\le U(f,P_{\epsilon })$，故

$$0\le \overline{I}-\underline{I}\le U(f,P_{\epsilon })-L(f,P_{\epsilon })<\epsilon .$$

由 $\epsilon$ 任意，$\overline{I}=\underline{I}=:I$。

下证 $f$ 是 Riemann 可积且积分值为 $I$。任给 $\epsilon >0$，取 $P_{\epsilon }$ 使 $U(f,P_{\epsilon })-L(f,P_{\epsilon })<\epsilon /2$。 对任意标记 $\mathbf{\xi }$，

$$L(f,P_{\epsilon })\le S(f,P_{\epsilon },\mathbf{\xi })\le U(f,P_{\epsilon }),L(f,P_{\epsilon })\le I\le U(f,P_{\epsilon }).$$

两式相减：$|S-I|\le U-L<\epsilon /2<\epsilon$。

注：上述论证仅对特定分割 $P_{\epsilon }$ 给出 $|S-I|<\epsilon$。 完整证明 Riemann 可积性（“对任意 $\Vert P\Vert <\delta$ 都成立”）需要利用 Darboux 准则的”加细一致性”—— 详见教材 §9.2 的精细分析。$■$

常见错误

• ✗ 把 Darboux 准则的 ”$\exists$ 分割” 误读为 ”$\forall$ 分割”。 正确：存在某个分割使 $U-L<\epsilon$ 即可——这等价于 $\overline{I}=\underline{I}$， 与”对一切充分细的分割”是等价表述但形式不同。
• ✗ 漏掉”$f$ 有界”前提。 无界函数不能定义 $M_i,m_i$（可能 $=\pm \infty$），Darboux 和无意义。 无界函数的可积性需借助反常积分（ANL-DEF-029，待建）框架。
• ✗ 误以为”${\omega }_i\to 0$（$\Vert P\Vert \to 0$）“等价于可积。 反例：Dirichlet 函数（$f=1_{\mathbb{Q}}$）每个子区间上 ${\omega }_i\equiv 1$， $\sum {\omega }_i\Delta x_i=b-a$ 无论怎样分割都不为零——故不可积。 关键：可积要求振幅与段长的加权和任意小，不仅是局部 ${\omega }_i$ 小。

推论与应用

• 核心推论 1：ANL-THM-027 闭区间连续 ⇒ 可积（用 Cantor 一致连续 + Darboux 准则）
• 核心推论 2：ANL-THM-028 单调函数 ⇒ 可积（直接套用）
• 推论 3：闭区间上仅在有限多点不连续的有界函数可积 （证明：把这些点用任意小的子区间覆盖；其余部分连续，振幅可控）
• 进阶（Lebesgue 准则）：有界 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积 $⟺$ $f$ 的不连续点集测度为零

链接

• 前置：ANL-DEF-025 Darboux 上下和、ANL-DEF-026 Riemann 可积、ANL-DEF-027 振幅
• 直接应用：ANL-THM-027、ANL-THM-028
• 进阶（不在本知识库 M2 范围）：Lebesgue 可积性准则