振幅（Oscillation）

定义陈述

设 $f:E\to \mathbb{R}$ 在非空集 $E\subseteq \mathbb{R}$ 上有界（ANL-DEF-005 推广至函数）。

$f$ 在 $E$ 上的振幅（oscillation）定义为

$$\omega (f,E):=\underset{x\in E}{\sup }f(x)-\underset{x\in E}{\inf }f(x).$$

由 ANL-AX-001 确界原理，$\sup$ 与 $\inf$ 都存在；又 $\sup \ge \inf$，故 $\omega (f,E)\ge 0$。

等价表达（差对的上确界）：

$$\omega (f,E)=\sup \{|f(x)-f(y)|:x,y\in E\}.$$

证明："$\ge$"：取 $x,y\in E$，由 sup-inf 性质 $f(x)-f(y)\le M-m=\omega$，故 $|f(x)-f(y)|\le \omega$。 "$\le$"：对任 $\epsilon >0$，取 $x_{\epsilon }$ 使 $f(x_{\epsilon })>M-\epsilon /2$、$y_{\epsilon }$ 使 $f(y_{\epsilon })<m+\epsilon /2$， 则 $|f(x_{\epsilon })-f(y_{\epsilon })|>M-m-\epsilon =\omega -\epsilon$。由 $\epsilon$ 任意，$\sup |f(x)-f(y)|\ge \omega$。

在分割上的振幅记号

对子区间 $[x_{i-1},x_i]$，记 ${\omega }_i:=\omega (f,[x_{i-1},x_i])=M_i-m_i$（ANL-DEF-025 中 $M_i,m_i$）。

由此Darboux 上下和之差可写成：

$$U(f,P)-L(f,P)=\sum _{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\sum _{i=1}^n{\omega }_i\Delta x_i.$$

核心意义：$U-L=\sum {\omega }_i\Delta x_i$ 是 Riemann 可积性的”误差度量”。 Riemann 可积 $⟺\forall \epsilon >0,\exists$ 分割 $P$ 使 $\sum {\omega }_i\Delta x_i<\epsilon$（即 ANL-THM-026 Darboux 准则）。 这把”上下积分相等”的判断完全转化为”振幅的加权和能任意小”。

与相近概念的区别

概念	关键差别
振幅 $\omega (f,E)$	$E$ 上 $f$ 的”全局变化范围”
模长 $\Vert P\Vert$（ANL-DEF-022）	分割中最长子区间的长度
局部振幅 ${\omega }_i=\omega (f,[x_{i-1},x_i])$	子区间上的振幅，依赖分割
函数连续性	在点 $x_0$ 处 $\omega (f,[x_0-\delta ,x_0+\delta ])\to 0$（$\delta \to 0$）当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 连续

连续性的振幅刻画：$f$ 在 $x_0$ 连续 $⟺$ $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }\omega (f,(x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap E)=0$。 这是 ANL-DEF-012 函数连续的”振幅版本”。

直觉理解

振幅 $\omega (f,E)$ = “在 $E$ 上 $f$ 最大值与最小值的差”——衡量 $f$ 在 $E$ 上”波动多大”。

振幅小 = 函数在该集合上”几乎是常数”； 振幅大 = 函数在该集合上”变化剧烈”。

几何：振幅就是 $f$ 在 $E$ 上图像的”垂直跨度”。

示例（$E=[0,1]$）：

$f(x)$	$\omega (f,[0,1])$
常数 $c$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$1$
$\sin x$	$\sin 1\approx 0.841$
$\sin (1/x)$（$x\ne 0$, 任补 $f(0)$）	$2$（值取遍 $[-1,1]$）
Dirichlet 函数	$1$

振幅的可加性（次可加）

设 $E=E_1\cup E_2$（不必不交），则

$$\omega (f,E)\le \omega (f,E_1)+\omega (f,E_2),$$

但等号不一定成立——比如 $E_1,E_2$ 不交且 $f$ 在两者上各为不同常数，等号取得；而若 $E_1,E_2$ 重叠且共享中间值，可能严格 $<$。

链接

• 前置：ANL-DEF-005 有界、ANL-AX-001 确界原理
• 关键关系：$U(f,P)-L(f,P)=\sum {\omega }_i\Delta x_i$，把振幅嵌入 ANL-DEF-025
• 用于：ANL-THM-026 Riemann 可积的 Darboux 准则
• 与连续性的关系：$f$ 在 $x_0$ 连续 $⟺$ 振幅在 $x_0$ 邻域趋零