函数项级数与函数列

定义陈述

设 $E\subseteq \mathbb{R}$。

• 若对每个 $n\in \mathbb{N}$ 给定一个定义在 $E$ 上的函数 $f_n:E\to \mathbb{R}$，则称 $\{f_n\}$ 为 $E$ 上的一个函数列。
• 称形式和 $$\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+\cdots$$ 为 $E$ 上的一个函数项级数，其中 $f_n$ 称为它的通项函数。

对每个固定的 $x\in E$，部分和函数定义为

$$S_n(x):=\sum _{k=1}^n{f}_k(x).$$

由此得到 $E$ 上的部分和函数列 $\{S_n\}$——这是函数项级数行为的研究对象。

关键观点：固定 $x=x_0$ 后，$\sum f_n(x_0)$ 退化为一个数项级数（ANL-DEF-032）； 函数项级数 $=$ “每个点 $x$ 上挂着一个数项级数”的连续族。

与相近概念的区别

概念	对象	收敛性问题
数项级数 $\sum a_n$	一个数列	部分和数列 $\{S_n\}$ 是否收敛
函数项级数 $\sum f_n(x)$	一族函数	部分和函数列 $\{S_n(x)\}$ 如何收敛（逐点？一致？）
函数列 $\{f_n\}$	一族函数	$f_n(x)$ 随 $n$ 的极限行为

函数列与函数项级数通过 $f_n=S_n-S_{n-1}$、$S_n={\sum }_{k\le n}{f}_k$ 相互转化—— 凡函数列的结论都可平移到函数项级数的部分和列上，反之亦然。

直觉理解

把函数项级数想成”逐点叠加的无穷过程”：在每个横坐标 $x$ 处，把各通项函数在该点的高度 $f_1(x),f_2(x),\dots$ 累加起来，得到极限函数（和函数）$S(x)$ 在该点的值。

但”逐点收敛”只是最弱的要求——它允许不同的 $x$ 以截然不同的快慢收敛。真正决定和函数能否继承通项连续性、可积性、可导性的，是收敛的”齐整程度”，即一致收敛（ANL-DEF-036）。这正是函数项级数比数项级数深刻得多的根源：多了一个”$x$ 维度”，收敛就有了”逐点”与”一致”之分。

典型例子：

• 幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$（通项 $f_n(x)=x^n$）；
• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$（三角级数，通项 $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n^2}$）。

链接

• 数项级数（固定 $x$ 的退化情形）：ANL-DEF-032
• 逐点收敛 / 一致收敛：ANL-DEF-036