幂级数

定义陈述

设 $\{c_n{\}}_{n=0}^{\infty }$ 为实数列，$x_0\in \mathbb{R}$。称形如

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n(x-x_0{)}^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0{)}^2+\cdots$$

的函数项级数（ANL-DEF-035）为以 $x_0$ 为中心的幂级数，$c_n$ 称为它的系数。

特别地，当 $x_0=0$ 时

$$\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots$$

是最常用的标准形式（一般幂级数经平移 $t=x-x_0$ 即化为此形）。

约定：$n=0$ 项取 $c_0(x-x_0{)}^0=c_0$（即使 $x=x_0$），故幂级数在中心 $x_0$ 处恒收敛于 $c_0$。

与相近概念的区别

概念	形式	特点
一般函数项级数 $\sum f_n(x)$	通项任意	收敛域形状任意
幂级数 $\sum c_n(x-x_0{)}^n$	通项 $=$ 系数 $\times$ 幂	收敛域必为以 $x_0$ 为中心的区间（ANL-DEF-038）
多项式	有限项幂级数	处处收敛，本质有限和
Taylor 级数（ANL-DEF-039）	$c_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$	由函数生成的特殊幂级数

直觉理解

幂级数是”无穷次多项式”——把多项式 $c_0+c_{1}x+\cdots +c_N{x}^N$ 的项数推向无穷。它的特殊之处在于：通项的 $x$ 依赖被锁死为纯幂次 $(x-x_0{)}^n$，使收敛行为高度规整。

这种规整性带来一个深刻结论（ANL-DEF-038）：幂级数的收敛域必是一个以中心 $x_0$ 为对称中心的区间（可能退化为一点或全直线），不会像一般函数项级数那样支离破碎。在收敛区间内部，幂级数还能像多项式一样逐项求导、逐项积分（ANL-THM-046），这使它成为表示与计算函数（$e^x$、$\sin x$ 等，ANL-DEF-039）的核心工具。

典型例子：

• 几何级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n$（系数 $c_n\equiv 1$，中心 $0$）；
• 指数级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$（系数 $c_n=1/n!$）。

链接

• 作为特例的函数项级数：ANL-DEF-035
• 收敛半径与收敛区间：ANL-DEF-038
• 由函数生成的幂级数：ANL-DEF-039
• 收敛半径公式与逐项运算：ANL-THM-046