数项级数与部分和

定义陈述

设 ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ 是一个数列（ANL-DEF-001）。称形式表达式

n = 1 \sum \infty a_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots

为一个数项级数（简称级数），其中 $a_{n}$ 称为级数的通项（一般项）。

对每个 $n \in N$ ，定义其前 $n$ 项部分和

S_{n} := k = 1 \sum n a_{k} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} .

由此得到一个新数列 ${S_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ ，称为级数 $\sum a_{n}$ 的部分和数列。

关键约定：级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 本质上就是它的部分和数列 ${S_{n}}$ 。一切关于级数的性质（收敛、发散、求和），都通过 ${S_{n}}$ 这个数列来定义（ANL-DEF-033）。

把级数想成”分期付款的总额”： $a_{n}$ 是第 $n$ 期付的钱， $S_{n}$ 是付到第 $n$ 期时已付的累计金额。

这一视角解释了为什么级数理论完全建立在数列理论之上：研究 $\sum a_{n}$ 就是研究它的部分和数列 ${S_{n}}$ 的极限行为。 $a_{n}$ 与 $S_{n}$ 之间由

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2), a_{1} = S_{1}

相互确定——通项是部分和的”差分”，部分和是通项的”累加”。