逐点收敛与一致收敛

定义陈述

设函数列 $\{S_n\}$ 定义在 $E\subseteq \mathbb{R}$ 上，$S:E\to \mathbb{R}$（对函数项级数，$S_n$ 取部分和函数，$S$ 为和函数，ANL-DEF-035）。

逐点收敛：称 $S_n$ 在 $E$ 上逐点收敛于 $S$，若对每个固定的 $x\in E$，数列 $\{S_n(x)\}$ 收敛于 $S(x)$（ANL-DEF-004）：

$$\forall x\in E,\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon ,x),\forall n>N:|S_n(x)-S(x)|<\epsilon .$$

一致收敛：称 $S_n$ 在 $E$ 上一致收敛于 $S$，记 $S_n\rightrightarrows S$，若

$$\forall \epsilon >0,\exists N(\epsilon ),\forall n>N,\forall x\in E:|S_n(x)-S(x)|<\epsilon .$$

唯一差别在于 $N$：逐点收敛允许 $N$ 依赖于 $x$（不同点收敛快慢可不同）； 一致收敛要求 $N$ 对所有 $x$ 统一（同一个 $N$ 管住全体点）。这就是量词 $\forall x$ 与 $\exists N$ 的先后顺序之差。

等价刻画（确界判据）：$S_n\rightrightarrows S$ 于 $E$ $⟺$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in E}{\sup }|S_n(x)-S(x)|=0.$$

与相近概念的区别

概念	量词顺序	几何含义
逐点收敛	$\forall x\exists N$	每个点各自收敛，快慢可不同
一致收敛	$\exists N\forall x$	整条曲线一起进入 $\epsilon$-带
一致连续（ANL-DEF-024）	$\exists \delta \forall x$	$\delta$ 对全体点统一（量词结构同构）

一致收敛 ⇒ 逐点收敛，反之不然。一致收敛是逐点收敛 + ”$N$ 与 $x$ 无关”的加强。

直觉理解

把 $S_n$ 与极限 $S$ 的图像画在一起，并在 $S$ 周围画一条宽 $\pm \epsilon$ 的”$\epsilon$-管道”。

• 逐点收敛：对每个 $x$，曲线 $S_n$ 在该点最终钻进管道——但不同 $x$ 进入的”时刻 $N$“可以天差地别，可能永远找不到一个时刻让整条曲线都在管道内。
• 一致收敛：存在一个统一时刻 $N$，过了它之后整条曲线 $S_n$ 完全躺在管道里，无一处越界。

经典反例（逐点收敛但不一致）：$f_n(x)=x^n$ 于 $[0,1]$。逐点极限

$$S(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1,\\ 1,& x=1,\end{array}$$

但 ${\sup }_{[0,1]}|x^n-S(x)|={\sup }_{x<1}{x}^n=1\nrightarrow 0$，故不一致收敛。其后果是：连续函数 $x^n$ 的逐点极限 $S$ 不连续——这正是一致收敛之所以重要的根本原因（ANL-THM-045）。

一句话：逐点收敛只保证”终点对”，一致收敛额外保证”步调齐”。唯有步调齐整，极限才会继承连续 / 可积 / 可导等好性质。

链接

• 函数项级数与函数列：ANL-DEF-035
• 量词结构同构的一致连续：ANL-DEF-024
• 一致收敛的充分判据：ANL-THM-044 Weierstrass M-test
• 一致收敛的核心后果（连续 / 可积 / 可导交换）：ANL-THM-045