一致收敛与连续、可积、可导的交换

条件

设函数项级数 $\sum f_n$ 的部分和函数列为 $\{S_n\}$，和函数为 $S$（ANL-DEF-035），区间 $[a,b]$。下分三个定理陈述（条件各异）。

结论

(I) 连续性定理（极限与极限交换）。 若每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上连续（ANL-DEF-012），且 $\sum f_n\rightrightarrows S$（一致收敛，ANL-DEF-036），则 $S$ 在 $[a,b]$ 上连续。即对 $x_0\in [a,b]$，

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_n(x).$$

(II) 逐项积分定理。 若每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上连续（或可积，ANL-DEF-026），且 $\sum f_n\rightrightarrows S$，则 $S$ 可积且

$${\int }_a^b\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$$

(III) 逐项求导定理。 若每个 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数，$\sum f_n$ 在某点 $x_0\in [a,b]$ 收敛，且导数级数 $\sum f_n^{\prime }\rightrightarrows g$ 一致收敛，则 $\sum f_n\rightrightarrows S$，$S$ 可导且

$$S^{\prime }(x)={\left(\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n(x)\right)}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n^{\prime }(x).$$

几何/直觉理解

这是整个一致收敛理论的目的所在：什么时候”无穷求和”能与”取极限 / 积分 / 求导”交换次序？

逐点收敛不够——反例 $f_n(x)=x^n$ 于 $[0,1]$（ANL-DEF-036）：连续函数的逐点极限不连续，连续性丢失。根源是收敛”步调不齐”：某些点附近 $S_n$ 还远未稳定，极限运算就被它”拽歪”。

一致收敛保证整条曲线一起进入 $\epsilon$-管道，于是：

• 连续 (I)：管道窄到一定程度后，$S$ 与连续的 $S_n$ 处处只差 $\epsilon$，连续性被”复制”给 $S$；
• 积分 (II)：积分是”面积平均”，曲线整体逼近 ⇒ 面积逼近，误差 $\le (b-a)\cdot \sup |S-S_n|\to 0$，最稳健；
• 求导 (III)：最苛刻。导数对局部抖动极敏感，仅 $S_n\rightrightarrows S$ 远不够，必须导数级数自身一致收敛——求导不是”继承”而是要”重新挣得”。

口诀：积分要求最弱（函数一致收敛即可），求导要求最强（导数级数也得一致收敛）。

证明

(I) 连续性。 设 $x_0\in [a,b]$，任给 $\epsilon >0$。由一致收敛，存在 $N$ 使 ${\sup }_x|S(x)-S_N(x)|<\epsilon /3$。$S_N$ 是有限个连续函数之和，故在 $x_0$ 连续：存在 $\delta >0$，$|x-x_0|<\delta$ 时 $|S_N(x)-S_N(x_0)|<\epsilon /3$。于是

$$|S(x)-S(x_0)|\le |S(x)-S_N(x)|+|S_N(x)-S_N(x_0)|+|S_N(x_0)-S(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon .$$

故 $S$ 在 $x_0$ 连续。$■$

(II) 逐项积分。 由 (I)，$S$ 连续故可积（ANL-DEF-026）。记 $S_n={\sum }_{k=1}^n{f}_k$，由积分线性性（ANL-THM-029）${\int }_a^b{S}_n={\sum }_{k=1}^n{\int }_a^b{f}_k$。又

$$\left|{\int }_a^{b}S-{\int }_a^b{S}_n\right|=\left|{\int }_a^b(S-S_n)\right|\le {\int }_a^b|S-S_n|\le (b-a)\underset{x\in [a,b]}{\sup }|S(x)-S_n(x)|\to 0,$$

最后一步由一致收敛（ANL-DEF-036 确界判据）。故 ${\sum }_{k=1}^n{\int }_a^b{f}_k\to {\int }_a^{b}S$，即逐项积分成立。$■$

(III) 逐项求导。 记 $g=\sum f_n^{\prime }$（一致收敛极限）。每个 $f_n^{\prime }$ 连续，由 (I) $g$ 连续；由 (II)（逐项积分用于 $\sum f_n^{\prime }$ 于 $[x_0,x]$）：

$${\int }_{x_0}^{x}g(t)dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\prime }(t)dt=\sum _{n=1}^{\infty }(f_n(x)-f_n(x_0))=S(x)-S(x_0),$$

其中第二个等号用 Newton–Leibniz 公式（ANL-THM-032），末步用 $\sum f_n(x_0)$ 收敛重排。故

$$S(x)=S(x_0)+{\int }_{x_0}^{x}g(t)dt.$$

$g$ 连续，由变限积分求导（微积分基本定理）得 $S$ 可导且 $S^{\prime }(x)=g(x)=\sum f_n^{\prime }(x)$。（顺带 $S$ 由上式一致收敛。）$■$

常见错误

• ✗ 仅凭逐点收敛就交换极限 / 积分 / 求导。反例（连续性丢失）：$x^n$ 于 $[0,1]$ 逐点极限不连续。
• ✗ 积分反例：$f_n(x)=nx{e}^{-n{x}^2}$ 于 $[0,1]$ 逐点 $\to 0$，但 ${\int }_0^1{f}_n=\frac{1}{2}(1-e^{-n})\to \frac{1}{2}\ne 0={\int }_0^{1}0$。非一致收敛时逐项积分失败。
• ✗ 求导反例：$f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{\sqrt{n}}$，$f_n\rightrightarrows 0$（因 $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$）但 $f_n^{\prime }(x)=\sqrt{n}\cos (nx)$ 不收敛。函数一致收敛不能推出可逐项求导，必须导数级数一致收敛。
• ✗ 把 (III) 的前提记成”$\sum f_n$ 一致收敛”。正确前提是”$\sum f_n^{\prime }$ 一致收敛 + $\sum f_n$ 至少一点收敛”，由此反推 $\sum f_n$ 一致收敛。

推论与应用

• 幂级数在收敛区间内可逐项求导 / 积分（ANL-THM-044 给出一致收敛）
• 与 Weierstrass M-判别法（ANL-THM-044）配套：先证一致收敛，再交换运算
• 含参积分连续性 / 可微性的离散对应

跨专业应用

• Fourier 级数：在适当条件下逐项积分 / 求导，求解热传导、波动方程
• 数值分析：级数解的逐项微分须先验证导数级数一致收敛，否则数值微分发散