Taylor 级数与 Maclaurin 级数

定义陈述

设函数 $f$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内任意阶可导（ANL-DEF-017）。称幂级数（ANL-DEF-037）

n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n} = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots

为 $f$ 在 $x_{0}$ 处的 Taylor 级数。当 $x_{0} = 0$ 时，称

n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}

为 $f$ 的 Maclaurin 级数。

收敛到 $f$ 的判据：Taylor 级数在 $x$ 处收敛于 $f (x)$ 当且仅当 Taylor 公式（ANL-THM-025）的余项趋于零：

R_{n} (x) = f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} n \to \infty 0.

致命陷阱：Taylor 级数收敛 $\neq =$ 收敛到 $f$ 。见下方 $e^{- 1/ x^{2}}$ 反例。

Taylor 级数是”用一点的全部导数信息去重建整个函数”的尝试：在 $x_{0}$ 处测得 $f$ 的值、斜率、曲率……（各阶导数），用它们作系数拼出一个幂级数，希望它就等于 $f$ 。

但这个”重建”可能失败——关键在余项 $R_{n}$ 是否消失：

解析函数（如 $e^{x}, sin x, cos x$ ）： $R_{n} \to 0$ ，Taylor 级数在收敛区间内忠实还原 $f$ ；
病态反例： $f (x) = {e^{- 1/ x^{2}}, 0, x \neq = 0, x = 0$ 在 $x_{0} = 0$ 处所有阶导数都为 $0$ ，故其 Maclaurin 级数恒为 $0$ ；该级数处处收敛，却只在 $x = 0$ 一点等于 $f$ 。此时 Taylor 级数”存在且收敛”，但完全没还原 $f$ 。

这解释了为何”是否收敛到 $f$ “必须回到余项估计（ANL-THM-025）——光有级数收敛远远不够。一个无穷可导却非解析的函数，其全部导数信息也”漏掉”了它在中心之外的形状。