绝对收敛与条件收敛

定义陈述

设级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ，同时考察其绝对值级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ a_{n} ∣$ 。

基本事实（绝对收敛 ⇒ 收敛）：若 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛，则 $\sum a_{n}$ 必收敛。

由此，级数收敛分为互斥的两类：绝对收敛与条件收敛。二者的差别极为本质——绝对收敛级数可任意重排而和不变；条件收敛级数重排后和可变为任意实数（Riemann 重排定理）。

注意： $\sum a_{n}$ 发散时 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 也发散（因绝对收敛 ⇒ 收敛的逆否）。故不存在” $\sum a_{n}$ 发散而 $\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛”的情形。

典型条件收敛例：交错调和级数

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots = ln 2

收敛（交错级数判别），但其绝对值级数 $\sum 1/ n$ （调和级数）发散——故条件收敛。

绝对收敛意味着”正负项各自的总量都有限”：把所有项的大小累加起来仍是有限的。这样的级数”稳健”——求和顺序、加括号、重排都不影响结果，行为如同有限和。

条件收敛则是”靠正负相消才勉强收敛”：正项之和与负项之和各自都是 $+ \infty$ ，是两者以恰当节奏抵消才得到有限和。这种平衡极其脆弱——一旦改变求和顺序（重排），抵消的节奏被打乱，和就会改变，甚至可被调成任意值或发散。

一句话：绝对收敛靠”量”，条件收敛靠”序”。

为什么绝对收敛 ⇒ 收敛？ 由级数 Cauchy 准则（ANL-THM-037）：

k = n + 1 \sum m a_{k} \leq k = n + 1 \sum m ∣ a_{k} ∣.

$\sum ∣ a_{n} ∣$ 收敛 ⇒ 右端可任意小 ⇒ 左端可任意小 ⇒ $\sum a_{n}$ 满足 Cauchy 准则 ⇒ 收敛。