函数项级数一致收敛判定

题目

判定下列函数项级数 / 函数列的一致收敛性（ANL-DEF-036）。

1. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ 于 $\mathbb{R}$。
2. $\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n$ 于 $(a)[0,q](0<q<1)$ 与 $(b)[0,1)$。
3. 函数列 $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$ 于 $(a)[\delta ,1](\delta >0)$ 与 $(b)[0,1]$。
4. $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+x^2}$ 于 $\mathbb{R}$。

提示

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• 第 1 题：Weierstrass M-判别法（ANL-THM-044），找与 $x$ 无关的 $M_n$。
• 第 2 题：(a) M-判别法；(b) 用确界判据 ${\sup }_x|S(x)-S_n(x)|$ 是否 $\to 0$，注意 $x\to 1^{-}$。
• 第 3 题：求 ${\sup }_x|f_n(x)|$。提示 $f_n$ 在 $x=1/n$ 处取最大值 $1/2$。
• 第 4 题：非绝对收敛，M-判别法失效；用 Abel/Dirichlet 一致收敛判别（ANL-THM-043 的函数版）。

解答

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第 1 题：M-判别法

对一切 $x\in \mathbb{R}$，$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}=:M_n$，而 $\sum 1/n^2$ 收敛（$p=2>1$）。由 Weierstrass M-判别法（ANL-THM-044），级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。$■$

推论：和函数在 $\mathbb{R}$ 上连续（ANL-THM-045）。

第 2 题：几何级数

(a) 于 $[0,q]$（$0<q<1$）：$|x^n|\le q^n=:M_n$，$\sum q^n$ 收敛。由 M-判别法一致收敛。

(b) 于 $[0,1)$：逐点和 $S(x)=\frac{1}{1-x}$，部分和 $S_n(x)=\frac{1-x^n}{1-x}$。余项

$$\underset{x\in [0,1)}{\sup }|S(x)-S_n(x)|=\underset{x\in [0,1)}{\sup }\frac{x^n}{1-x}=+\infty$$

（当 $x\to 1^{-}$ 时该量无界）。由确界判据（ANL-DEF-036），不一致收敛。$■$

对比 (a)(b)：同一级数在闭子区间 $[0,q]$ 一致收敛、在 $[0,1)$ 不一致——一致收敛强依赖区间。

第 3 题：函数列确界

求 ${\sup }_x|f_n(x)|$。令 $f_n^{\prime }(x)=0$：$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$ 在 $x=\frac{1}{n}$ 取最大值 $f_n(1/n)=\frac{n\cdot \frac{1}{n}}{1+1}=\frac{1}{2}$。逐点极限 $f_n(x)\to 0$（对每个固定 $x$）。

(a) 于 $[\delta ,1]$（$\delta >0$）：当 $n>1/\delta$ 时最大值点 $1/n<\delta$ 落在区间外，区间上 $f_n$ 递减，故

$$\underset{[\delta ,1]}{\sup }|f_n|=f_n(\delta )=\frac{n\delta }{1+n^2{\delta }^2}\to 0.$$

由确界判据一致收敛于 $0$。

(b) 于 $[0,1]$：最大值点 $1/n\in [0,1]$，

$$\underset{[0,1]}{\sup }|f_n-0|=f_n(1/n)=\frac{1}{2}\nrightarrow 0,$$

故不一致收敛。$■$

第 4 题：Dirichlet 一致收敛判别

该级数对每个 $x$ 是交错级数，但绝对值级数 $\sum \frac{1}{n+x^2}$ 发散（类调和），M-判别法失效。

用 Dirichlet 判别法（函数版，ANL-THM-043）：写 $a_n=(-1{)}^n$，$b_n(x)=\frac{1}{n+x^2}$。

• $a_n=(-1{)}^n$ 的部分和 $\left|{\sum }_{k=1}^n(-1{)}^k\right|\le 1$，对一切 $x$ 一致有界；
• $b_n(x)=\frac{1}{n+x^2}$ 对每个 $x$ 关于 $n$ 单调递减，且 $$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }{b}_n(x)=\frac{1}{n}\to 0(\text{即 }{b}_n\rightrightarrows 0\text{ 一致趋零}).$$

满足 Dirichlet 一致判别条件，故级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。$■$

也可用交错级数余项估计：$\left|{\sum }_{k>n}\frac{(-1{)}^k}{k+x^2}\right|\le b_{n+1}(x)=\frac{1}{n+1+x^2}\le \frac{1}{n+1}\to 0$ 一致成立。

考察点

• ANL-THM-044 Weierstrass M-判别法（找与 $x$ 无关的控制 $M_n$）
• ANL-DEF-036 确界判据 ${\sup }_x|S-S_n|\to 0$ 证一致 / 反证不一致
• 一致收敛对区间的敏感性（闭子区间 vs 半开区间）
• M-判别法失效（非绝对收敛）时改用 Dirichlet 一致判别（ANL-THM-043）

备注

判定一致收敛的方法选择：

情形	方法
绝对收敛、易估上界	Weierstrass M-判别法
需证不一致收敛	确界判据：证 ${\sup }_x|S-S_n|\nrightarrow 0$
交错 / 条件收敛型	Dirichlet / Abel 一致判别；或交错级数余项一致估计
函数列	求 ${\sup }_x|f_n-f|$（常借助求导找最值点）

一致收敛的意义（ANL-THM-045）：一旦确立，即可放心交换求和与极限 / 积分 / 求导——这正是判定一致收敛的根本目的。