Weierstrass 判别法（M-判别法）

条件

设函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{f}_n(x)$ 定义在 $E\subseteq \mathbb{R}$ 上。若存在正项数列 $\{M_n\}$ 使得

1. 逐项控制：$|f_n(x)|\le M_n$ 对一切 $x\in E$ 与一切 $n$ 成立；
2. 控制级数收敛：数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{M}_n$ 收敛。

结论

则 $\sum f_n(x)$ 在 $E$ 上一致收敛（且绝对收敛）（ANL-DEF-036）。

几何/直觉理解

Weierstrass 判别法把”函数项级数一致收敛”这个带 $x$ 维度的难题，降维成一个普通数项级数 $\sum M_n$ 的收敛问题：只要每个通项函数的”最大可能高度” $M_n$ 加起来有限，那么无论 $x$ 取何值，尾部 ${\sum }_{k>n}{f}_k(x)$ 都被同一个可任意小的数 ${\sum }_{k>n}{M}_k$ 压住——这正是”$N$ 与 $x$ 无关”的一致性来源。

形象地说：$\sum M_n$ 是一道”统一的天花板”，把所有 $x$ 处的级数尾巴一起按在 $\epsilon$-管道内。它是判定一致收敛最常用、最省力的工具，代价是要求绝对收敛——故对条件收敛的函数项级数（如 $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 型）无能为力，那时需改用 Abel/Dirichlet 一致收敛判别（ANL-THM-043 的函数版）。

证明

证明： 关键是一致收敛的 Cauchy 准则——它是数项级数 Cauchy 准则（ANL-THM-037）的函数版：$\sum f_n$ 在 $E$ 上一致收敛 $⟺$

$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall m>n>N,\forall x\in E:\left|\sum _{k=n+1}^m{f}_k(x)\right|<\epsilon .$$

现验证此准则。由 $\sum M_n$ 收敛，对其用数项级数 Cauchy 准则（ANL-THM-037）：任给 $\epsilon >0$，存在 $N$，使 $\forall m>n>N$，

$$\sum _{k=n+1}^m{M}_k<\epsilon .$$

于是对一切 $x\in E$，由逐项控制 $|f_k(x)|\le M_k$ 与三角不等式：

$$\left|\sum _{k=n+1}^m{f}_k(x)\right|\le \sum _{k=n+1}^m|f_k(x)|\le \sum _{k=n+1}^m{M}_k<\epsilon .$$

该 $N$ 与 $x$ 无关，故一致收敛的 Cauchy 准则成立，$\sum f_n$ 在 $E$ 上一致收敛。

中间一步 $\sum |f_k(x)|\le \sum M_k$ 同时表明逐点绝对收敛。$■$

常见错误

• ✗ 找的 $M_n$ 不是 $|f_n(x)|$ 在 $E$ 上的上界，而只在部分点成立。必须 ${\sup }_{x\in E}|f_n(x)|\le M_n$。
• ✗ $M_n$ 取得过松导致 $\sum M_n$ 发散，便断言”不一致收敛”。M-判别法只是充分条件：$\sum M_n$ 发散不能推出 $\sum f_n$ 不一致收敛（也许换更紧的 $M_n$ 就行，或该级数虽一致收敛但非绝对收敛）。
• ✗ 用于条件收敛型函数项级数。M-判别法蕴含绝对收敛，对靠正负相消才一致收敛的级数失效，应改用 Abel/Dirichlet 一致判别。
• ✗ 误以为一致收敛区间可任意扩大。$M_n={\sup }_E|f_n|$ 依赖 $E$：如 $\sum \frac{x^n}{n^2}$ 在 $[-1,1]$ 上 $M_n=1/n^2$ 可用，但在 $(-1,1)$ 外失效。

推论与应用

• 一致收敛 ⇒ 可逐项取极限 / 积分 / （在条件下）求导（ANL-THM-045）
• 与正项级数判别法（ANL-THM-038）配套：先估 $M_n=\sup |f_n|$，再用比较 / 比值 / 积分判别 $\sum M_n$
• 是幂级数在收敛区间内闭一致收敛的标准证法

跨专业应用

• Fourier 分析：$\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ 等三角级数由 $M_n=1/n^2$ 立得一致收敛，从而和函数连续
• 概率论：特征函数 / 母函数级数在紧集上一致收敛，支持逐项求导算矩