Abel 判别法与 Dirichlet 判别法（级数版）

条件

考察形如 $\sum a_n{b}_n$ 的级数。记 $A_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$。

Dirichlet 判别法：若

1. $A_n$ 有界（$\exists M,|A_n|\le M$ 对一切 $n$）；
2. $\{b_n\}$ 单调且 $b_n\to 0$，

则 $\sum a_n{b}_n$ 收敛。

Abel 判别法：若

1. $\sum a_n$ 收敛；
2. $\{b_n\}$ 单调有界，

则 $\sum a_n{b}_n$ 收敛。

结论

上述两组条件下，级数 $\sum a_n{b}_n$ 均收敛（ANL-DEF-033）。

几何/直觉理解

二者都处理”振荡因子 $a_n$ × 缓变因子 $b_n$“的乘积级数，核心是Abel 求和（分部求和）——离散版的”分部积分”：把求和的”求导”挪到容易控制的因子上。

• Dirichlet：$a_n$ 自身不收敛，但其部分和被”困”在有界范围内（如 $a_n=(-1{)}^n$ 或 $a_n=\cos n\theta$ 反复抵消）。只要再乘上一个单调趋零的”刹车” $b_n$，振荡贡献被逐步压灭，级数收敛。
• Abel：$\sum a_n$ 本已收敛，再乘一个单调有界因子 $b_n$ 不会破坏收敛——单调有界的 $b_n$ 像一个”温和的调制”，至多重新分配权重而不引入发散。

Leibniz 判别法（ANL-THM-042）是 Dirichlet 的特例：取 $a_n=(-1{)}^{n-1}$（部分和 $A_n\in \{0,1\}$ 有界），$b_n$ 单调趋零即得。

证明

关键工具：Abel 分部求和。 设 $S_p={\sum }_{k=n+1}^p{a}_k$（约定 $S_n=0$），则 $a_k=S_k-S_{k-1}$（$k\ge n+1$），于是

$$\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k=\sum _{k=n+1}^m(S_k-S_{k-1})b_k=S_m{b}_m+\sum _{k=n+1}^{m-1}{S}_k(b_k-b_{k+1}).\text{\hspace{1em}(∗)}$$

Dirichlet 判别法证明。 由 $|A_n|\le M$，$|S_k|=|A_k-A_n|\le 2M$。$\{b_n\}$ 单调使 $b_k-b_{k+1}$ 不变号，故

$$\sum _{k=n+1}^{m-1}|b_k-b_{k+1}|=|\sum _{k=n+1}^{m-1}(b_k-b_{k+1})|=|b_{n+1}-b_m|\le |b_{n+1}|+|b_m|.$$

对 $(\ast )$ 取绝对值：

$$\left|\sum _{k=n+1}^m{a}_k{b}_k\right|\le 2M|b_m|+2M(|b_{n+1}|+|b_m|)=2M(|b_{n+1}|+2|b_m|).$$

因 $b_n\to 0$，任给 $\epsilon >0$，当 $n,m$ 充分大时右端 $<\epsilon$。由级数 Cauchy 准则（ANL-THM-037），$\sum a_n{b}_n$ 收敛。$■$

Abel 判别法证明。 $\{b_n\}$ 单调有界 ⇒ 收敛，设 $b_n\to b$。令 $c_n=b_n-b$，则 $\{c_n\}$ 单调且趋于 $0$。分解

$$a_n{b}_n=b{a}_n+a_n{c}_n.$$

• $\sum b{a}_n=b\sum a_n$ 收敛（已知 $\sum a_n$ 收敛）；
• $\sum a_n{c}_n$：$\sum a_n$ 收敛 ⇒ 其部分和 $A_n$ 收敛 ⇒ 有界；$c_n$ 单调趋零。由刚证的 Dirichlet 判别法，$\sum a_n{c}_n$ 收敛。

两收敛级数之和收敛，故 $\sum a_n{b}_n$ 收敛。$■$

常见错误

• ✗ Dirichlet 中漏掉"$b_n\to 0$"，只用单调有界。反例：$a_n=(-1{)}^n$（部分和有界），$b_n=1$（单调有界但不趋零），则 $\sum (-1{)}^n$ 发散。趋零不可省。
• ✗ Abel 中误加"$b_n\to 0$"或”$\sum a_n$ 只需部分和有界”。Abel 要求 $\sum a_n$ 真收敛且 $b_n$ 只需单调有界；与 Dirichlet 的条件不可混搭。
• ✗ 忘记 $\{b_n\}$ 的单调性，导致 $\sum |b_k-b_{k+1}|$ 不能裂项为 $|b_{n+1}-b_m|$。无单调性时该和可能发散，证明失效。
• ✗ 误用于求和值。两判别法只判收敛性，不给出级数和。

推论与应用

• Leibniz 判别法（ANL-THM-042）：Dirichlet 取 $a_n=(-1{)}^{n-1}$ 的特例
• 判定 $\sum \frac{\sin n\theta }{n}$、$\sum \frac{\cos n\theta }{n^p}$ 等三角级数收敛（$\sum \cos /\sin$ 部分和有界）
• 是条件收敛（ANL-DEF-034）级数的主力判别工具

跨专业应用

• 信号处理：判定调制信号 $\sum a_n{b}_n$（载波 × 缓变包络）对应级数的收敛
• Fourier 分析：三角级数 $\sum \frac{\sin nx}{n}$ 的逐点收敛由 Dirichlet 判别保证