不同特征值的特征向量线性无关

条件

设 $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ 是线性变换 $φ$ 的互异特征值， $v_{1}, \dots, v_{k}$ 是对应的特征向量。

$v_{1}, \dots, v_{k}$ 线性无关。

不同特征方向不能互相表示——每个特征向量指向一个独立的”伸缩方向”。 $n$ 个不同的特征值 ⇒ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 ⇒ 可对角化。

设 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} = 0$ 。反复作用 $φ$ 得线性方程组，由 Vandermonde 行列式非零知系数全为零。 $■$