有界数列

定义陈述

设 $\{a_n\}$ 是数列。

• 上有界：$\exists M\in \mathbb{R},\forall n:a_n\le M$。
• 下有界：$\exists m\in \mathbb{R},\forall n:a_n\ge m$。
• 有界：同时上有界与下有界，等价于 $\exists M>0,\forall n:|a_n|\le M$。

与相近概念的区别

概念	关键差别
有界	全体项被同一常数夹住
收敛 ANL-DEF-004	严格更强：必有界，且项趋于固定值
局部有界	仅在某段下标内有界，整体不必

直觉理解

把数列想象成被关在围栏里的一群点：有界=围栏存在；收敛=所有点最终都聚在围栏内某一处。 有界是收敛的必要非充分条件——不收敛但有界的最小例子就是 $a_n=(-1{)}^n$，永远在 $\pm 1$ 间跳跃。

链接

• 用于定理：ANL-THM-006 单调有界定理
• 等价描述借助：ANL-AX-001 确界原理