函数极限的保号性

条件与结论

设 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ （按 ANL-DEF-008）。

保号性（强形式）：

若 $A > 0$ ，则 $\exists δ > 0$ ， $\forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ f (x) > A /2 > 0$ 。
若 $A < 0$ ，则 $\exists δ > 0$ ， $\forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ f (x) < A /2 < 0$ 。

保号性（弱形式 / 反向）：

若 $\exists δ > 0$ ， $\forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ f (x) \geq 0$ ，则 $A \geq 0$ （只能弱不等）。
若 $f (x) \leq c$ 在某去心邻域内成立，则 $A \leq c$ 。

数列保号性 ANL-THM-003 的”连续版本”——结构与论证完全平行。

形式化要点同数列：

极限取闭包： $f$ 在 $\geq 0$ 的”闭半轴”上 ⇒ 极限也在 $\geq 0$ 的”闭半轴”上，但未必还在严格 $> 0$ 的开半轴上（如 $f (x) = x^{2} \geq 0$ ，但 $lim_{x \to 0} f = 0$ ）。

证明： 在 ANL-DEF-008 中取 $ε = A /2 > 0$ 。存在 $δ > 0$ 使 $\forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - A ∣ < A /2$ ，即

A - A /2 < f (x) < A + A /2 ⟹ f (x) > A /2 > 0.

$■$

弱形式证明：反证。设 $f \geq 0$ 但 $A < 0$ ，则由强形式 $f < A /2 < 0$ 在某去心邻域成立，矛盾。 $■$

✗ 由 $f (x) > 0$ 推 $A > 0$ 。错。反例： $f (x) = x^{2}$ 在 $x_{0} = 0$ 附近 $f > 0$ ，但 $lim f = 0$ 。正确推论是 $A \geq 0$ 。
✗ 把 " $f (x) > g (x)$ " 错误地推出 " $A > B$ "。正确推论是 $A \geq B$ （强不等不传给极限）。

比较定理： $f (x) \leq g (x)$ 在某去心邻域成立，且两者极限都存在 ⇒ $lim f \leq lim g$ 。
除法定理依赖：ANL-THM-009 除法部分需要” $lim g = B \neq = 0$ 时 $∣ g ∣ \geq ∣ B ∣/2$ 局部成立”——这正是本定理对 $∣ g ∣$ 的应用结果。