函数极限的四则运算

条件

设 $f, g$ 在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义， $lim_{x \to x_{0}} f (x) = A$ ， $lim_{x \to x_{0}} g (x) = B$ （按 ANL-DEF-008）。

下列四则运算极限均成立：

加法： $x \to x_{0} lim (f (x) + g (x)) = A + B$ 。
减法： $x \to x_{0} lim (f (x) - g (x)) = A - B$ 。
乘法： $x \to x_{0} lim (f (x) \cdot g (x)) = A \cdot B$ 。
除法：若 $B \neq = 0$ ，则在 $x_{0}$ 的某去心邻域内 $g (x) \neq = 0$ ，且 $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{A}{B} .$

特别地，对常数 $c$ ： $lim_{x \to x_{0}} c \cdot f (x) = c \cdot A$ 。

数列极限四则定理（ANL-THM-004）的”连续版本”—— 把” $n$ 充分大”换成” $x$ 充分接近 $x_{0}$ “，论证结构完全平行。

关键差别只在域：

核心思路同样三件事：

加减：用三角不等式直接控制；
乘法：拆分 $f g - A B = f (g - B) + B (f - A)$ ，靠局部有界抑制 $f$ ；
除法：先证 $1/ g (x) \to 1/ B$ ，关键是** $∣ g (x) ∣ \geq ∣ B ∣/2$ 在某去心邻域**（保号性 ANL-THM-010 的应用）。

证明（乘法）：要证 $∣ f (x) g (x) - A B ∣ \to 0$ 当 $x \to x_{0}$ 。

关键拆分：

f (x) g (x) - A B = f (x) (g (x) - B) + B (f (x) - A) .

局部有界化：取 $ε = 1$ 在 $f$ 的极限定义中，存在 $δ_{0} > 0$ 使 $\forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ_{0} ⟹ ∣ f (x) - A ∣ < 1$ ，故 $∣ f (x) ∣ < ∣ A ∣ + 1 =: M$ 。

任给 $ε > 0$ ：

由 $f \to A$ ， $\exists δ_{1} > 0, \forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ_{1} ⟹ ∣ f (x) - A ∣ < \frac{ε}{2 ( ∣ B ∣ + 1 )}$
由 $g \to B$ ， $\exists δ_{2} > 0, \forall x : 0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ_{2} ⟹ ∣ g (x) - B ∣ < \frac{ε}{2 M}$

取 $δ = min {δ_{0}, δ_{1}, δ_{2}}$ ，对任意 $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ ：

∣ f (x) g (x) - A B ∣ \leq M \cdot \frac{ε}{2 M} + ∣ B ∣ \cdot \frac{ε}{2 ( ∣ B ∣ + 1 )} < ε .

$■$

加减证明从略；除法 = 乘法 × 倒数，关键是 $1/ g \to 1/ B$ ，该步骤需要 $∣ g (x) ∣ \geq ∣ B ∣/2$ （由保号性 ANL-THM-010 应用于 $∣ g ∣$ 给出）。

✗ 滥用四则运算到极限不存在的情形。反例： $f (x) = sin (1/ x), g (x) = - sin (1/ x)$ 当 $x \to 0$ 时极限均不存在，但 $f (x) + g (x) = 0 \to 0$ 收敛于 $0$ 。定理要求两个极限都先存在，否则不能直接套用。
✗ 0/0、∞/∞ 直接套除法。这些是不定型——必须先化简（如 L’Hôpital、变量代换、夹逼）再判断。反例： $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ （不是 $0/0$ ）， $lim_{x \to 0} \frac{x}{x ^{2}} = \infty$ （同样 $0/0$ 但结果不同）。
✗ 忽视”分母非零”的局部性条件。当 $B \neq = 0$ 时分母从某去心邻域起 $g (x) \neq = 0$ 是结论的一部分； $B = 0$ 则分式定义都成问题，本定理不覆盖。

多项式极限：若 $f \to A$ ，则 $P (f) \to P (A)$ 对任何多项式 $P$ 。
有理函数极限：若 $f \to A$ 且 $Q (A) \neq = 0$ ，则 $P (f) / Q (f) \to P (A) / Q (A)$ 。