Cauchy 中值定理

条件

设 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ 同时满足：

1. $f,g$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续（ANL-DEF-012）；
2. $f,g$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导（ANL-DEF-014）；
3. $g^{\prime }(x)\ne 0$ 对所有 $x\in (a,b)$ 成立。

结论

存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}.$$

注：条件 3 + Rolle 定理保证 $g(a)\ne g(b)$（否则会有 $g^{\prime }$ 在 $(a,b)$ 内有零点），故分母非零。

几何/直觉理解

把 $(g(t),f(t))$ 看作平面上参数曲线（参数 $t\in [a,b]$）。 起点 $(g(a),f(a))$，终点 $(g(b),f(b))$，割线斜率为

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

曲线在参数 $t$ 处的切线方向为 $(g^{\prime }(t),f^{\prime }(t))$，斜率为 $\frac{f^{\prime }(t)}{g^{\prime }(t)}$。

Cauchy 定理断言：参数曲线上至少有一处切线平行于起终点连线（割线）。 这是 Lagrange 定理（ANL-THM-022）的”参数化”版本—— Lagrange 是 $g(x)=x$ 的特例（此时 $g^{\prime }(x)\equiv 1$）。

证明

证明： 思路：构造辅助函数后用 Rolle。

设

$$\phi (x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot [g(x)-g(a)].$$

由条件 1, 2，$\phi$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导。计算端点值：

$$\phi (a)=f(a)-0=f(a),$$ $$\phi (b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot [g(b)-g(a)]=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a).$$

故 $\phi (a)=\phi (b)=f(a)$。由 ANL-THM-021 Rolle 定理，$\exists \xi \in (a,b)$ 使

$${\phi }^{\prime }(\xi )=0⟺f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(\xi )=0.$$

由条件 3，$g^{\prime }(\xi )\ne 0$，两边除以 $g^{\prime }(\xi )$：

$$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.■$$

常见错误

• ✗ 漏掉条件 3（$g^{\prime }\ne 0$）。 反例：$f(x)=x^3$，$g(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上。 $g^{\prime }(0)=0$，$g(b)-g(a)=1-1=0$，定理结论分母为零，公式无意义。
• ✗ 误用以下”伪证法”：分别对 $f,g$ 用 Lagrange，得 $f(b)-f(a)=f^{\prime }({\xi }_1)(b-a)$ 与 $g(b)-g(a)=g^{\prime }({\xi }_2)(b-a)$，相除得 $\frac{f^{\prime }({\xi }_1)}{g^{\prime }({\xi }_2)}$。 错误：${\xi }_1,{\xi }_2$ 不一定相等，无法合并为单一 $\xi$。 Cauchy 定理的精髓是断言同一个 $\xi$ 同时作用于分子分母——这是它强于”两次 Lagrange”的根本理由。
• ✗ 把 Cauchy 中值定理的 $\xi$ 视作”$f,g$ 各自 Lagrange 的 $\xi$ 的某种平均”。 没有这样的平均关系；$\xi$ 由整体的辅助函数 $\phi$ 决定。

推论与应用

• Lagrange 中值定理：取 $g(x)=x$ 即得 ANL-THM-022
• L’Hospital 法则：ANL-THM-024 的核心证明工具——把 $\frac{f}{g}$ 的极限化为 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$
• Taylor 余项：Lagrange 余项形式（ANL-THM-025）的证明用 Cauchy 中值定理对辅助函数迭代

跨专业应用

• 数值分析：L’Hospital 法则用于处理 $0/0$ 与 $\infty /\infty$ 型极限——本定理是基础