分割（Partition）

定义陈述

设 $[a,b]\subset \mathbb{R}$ 是闭区间（$a<b$）。$[a,b]$ 的一个分割（partition） 是一个有限点集

$$P=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$$

满足

$$a=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_n=b.$$

$P$ 把 $[a,b]$ 分成 $n$ 个子区间 $[x_{i-1},x_i]$（$i=1,2,\dots ,n$）。 记子区间长度为 $\Delta x_i:=x_i-x_{i-1}$，则 ${\sum }_{i=1}^n\Delta x_i=b-a$。

关键概念

分割的模（norm / mesh）

$$\Vert P\Vert :=\underset{1\le i\le n}{\max }\Delta x_i.$$

直觉：模 $=$ 最长子区间的长度。$\Vert P\Vert \to 0$ 表示”分得越来越细”。 注意”越细”不仅指点数多，更是指最长那段也要小——这是 Riemann 积分定义中"$\Vert P\Vert \to 0$"的关键。

加细（refinement）

设 $P,P^{\prime }$ 都是 $[a,b]$ 的分割。若 $P\subseteq P^{\prime }$（即 $P^{\prime }$ 的分割点集合包含 $P$ 的所有点）， 则称 $P^{\prime }$ 是 $P$ 的加细。

几何上：$P^{\prime }$ 在 $P$ 的基础上新增若干分割点，把某些子区间进一步切细。

公共加细

任两个分割 $P_1,P_2$，并集 $P_1\cup P_2$（按升序排列）是 $P_1$ 与 $P_2$ 的公共加细—— 它同时是两者的加细。

意义：当我们要比较两个不同分割上的某个量（如下和、上和）， 通过共同加细可以”统一到同一个更细的分割上”再比较，是 Riemann 理论的核心技巧。

与相近概念的区别

概念	关键差别
分割	有限多个点，把闭区间分成有限多个子区间
等距分割	特殊分割，所有 $\Delta x_i=(b-a)/n$
标记分割	在每个子区间中再选一个”标记点” ${\xi }_i$（用于 Riemann 和 ANL-DEF-023）
模 vs 子区间数	子区间数大不蕴含模小（如 $\{0,1/n,1\}$ 子区间数 $=2$，模 $=(n-1)/n\to 1$ 不变小）

直觉理解

想象用一把”小锤子”在数轴 $[a,b]$ 上”敲钉子”—— $n+1$ 颗钉子（含两端点）把区间锤成 $n$ 段。 这就是分割。

“模 $\Vert P\Vert$”= 最长那段的长度。$\Vert P\Vert \to 0$ 意味着所有段都越来越短。

加细 $=$ 在已有钉子基础上继续敲——新增钉子，更密但不破坏已有结构。

示例：$[0,1]$ 上：

• $P=\{0,0.5,1\}$：$2$ 个子区间，$\Vert P\Vert =0.5$
• $P^{\prime }=\{0,0.25,0.5,0.75,1\}$：$4$ 个子区间，$\Vert P^{\prime }\Vert =0.25$，$P^{\prime }\supseteq P$，故 $P^{\prime }$ 是 $P$ 的加细
• $P^{\prime \prime }=\{0,0.3,0.7,1\}$：$3$ 个子区间，$\Vert P^{\prime \prime }\Vert =0.4$。$P^{\prime \prime }$ 与 $P$ 不互为加细（既无包含关系），公共加细为 $P\cup P^{\prime \prime }=\{0,0.3,0.5,0.7,1\}$

链接

• 用于：ANL-DEF-023 Riemann 和、ANL-DEF-025 Darboux 上下和、ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 进阶：高维推广（多重积分用矩形分割）、Stieltjes 积分（带权分割）