Riemann 和

定义陈述

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$，$P=\{x_0,x_1,\dots ,x_n\}$ 为 $[a,b]$ 的分割（ANL-DEF-022）。 在每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中任选一个标记点 ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$（$i=1,\dots ,n$）， 得到带标记的分割（$P,\mathbf{\xi }$）。

Riemann 和 定义为

$$S(f,P,\mathbf{\xi }):=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot \Delta x_i=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1}).$$

几何含义

Riemann 和 $S(f,P,\mathbf{\xi })$ 等于以 $f({\xi }_i)$ 为高、$\Delta x_i$ 为宽的 $n$ 个矩形面积之和—— 是曲线下方面积的一个矩形近似。

     f
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     │ ξ₁│ξ₂│  ξ₃│  ξ₄ │ξ₅
     └──┴──┴───┴──┴───┴── x
       x₁ x₂  x₃ x₄  x₅

与 Darboux 和的对比

设 $f$ 有界，$M_i:={\sup }_{[x_{i-1},x_i]}f$，$m_i:={\inf }_{[x_{i-1},x_i]}f$。

$$L(f,P):=\sum m_i\Delta x_i\le S(f,P,\mathbf{\xi })\le \sum M_i\Delta x_i=:U(f,P).$$

即对任意标记 $\mathbf{\xi }$，Riemann 和介于 ANL-DEF-025 下和与上和之间。

关键差别：

• Riemann 和依赖于分割 + 标记两者。变标记同一分割能产生不同 Riemann 和。
• Darboux 和仅依赖于分割（$M_i,m_i$ 由分割与函数决定，不需选标记）。

Darboux 和扮演 Riemann 和的”上下界”，使得证明可积性时不必处理标记的选择， 仅需控制分割的精细度。

选标记的常见特殊情形

标记选取	名称	备注
${\xi }_i=x_{i-1}$（左端点）	左 Riemann 和 $L_n$	数值分析”矩形法”的一种
${\xi }_i=x_i$（右端点）	右 Riemann 和 $R_n$	同上
${\xi }_i=(x_{i-1}+x_i)/2$	中点 Riemann 和 $M_n$	比左右更精确（误差 $O({\Delta }^2)$）
$f({\xi }_i)=M_i$	上和	仅当 $f$ 在子区间上取得最大时可选
$f({\xi }_i)=m_i$	下和	同上对应最小值

直觉理解

Riemann 和 = “把曲线下方面积用矩形拼出来”。 取的标记越密、越随便都不影响极限——只要分割模 $\Vert P\Vert \to 0$， 矩形拼出的面积总会逼近”真正的曲线下方面积”。 这正是 Riemann 可积性（ANL-DEF-026）的精神。

为什么可以”任选”标记？ 直觉上：如果 $f$ 不剧烈振荡，子区间内的 $f$ 值差不多，故任选 ${\xi }_i$ 都接近”该子区间的代表值”。 一致连续函数（ANL-DEF-024）天然满足这点，所以连续函数 Riemann 可积（ANL-THM-027）。

链接

• 前置：ANL-DEF-022 分割
• 上下界：ANL-DEF-025 Darboux 上下和
• 极限定义：ANL-DEF-026 Riemann 可积

跨专业应用

• 数值分析：矩形法、梯形法、Simpson 法都是 Riemann 和的特定标记选择
• 概率论：连续随机变量 $X$ 的期望 $E[g(X)]=\int g(x)p(x)dx$ 的离散化逼近就是 Riemann 和