Darboux 上下和

定义陈述

设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 有界（ANL-DEF-005 推广至函数），$P=\{x_0,\dots ,x_n\}$ 是 $[a,b]$ 的分割（ANL-DEF-022）。

记每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的上下确界（依 ANL-AX-001 确界原理保证存在）：

$$M_i:=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x),m_i:=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x).$$

Darboux 上和（U 和）：

$$U(f,P):=\sum _{i=1}^n{M}_i\cdot \Delta x_i.$$

Darboux 下和（L 和）：

$$L(f,P):=\sum _{i=1}^n{m}_i\cdot \Delta x_i.$$

显然 $L(f,P)\le U(f,P)$。

关键性质

性质 1：与 Riemann 和的关系

对任意标记 $\mathbf{\xi }$：

$$L(f,P)\le S(f,P,\mathbf{\xi })\le U(f,P).$$

直觉：对每个子区间，$m_i\le f({\xi }_i)\le M_i$ ⇒ 求和后保持不等式。

性质 2：加细使下和 ↗、上和 ↘

若 $P^{\prime }$ 是 $P$ 的加细（$P^{\prime }\supseteq P$），则

$$L(f,P)\le L(f,P^{\prime })\le U(f,P^{\prime })\le U(f,P).$$

直觉（以下和为例）：在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中插入一点 $y$，把它分成两段。 在两段上分别取下确界，至少与原来的 $m_i$ 一样大（更小的范围 ⇒ 更大的 inf 或不变）。 故下和不减。上和对偶。

性质 3：任意下和 ≤ 任意上和

对任意两分割 $P_1,P_2$（不必互相加细）：

$$L(f,P_1)\le U(f,P_2).$$

证明梗概：取公共加细 $P^{\ast }=P_1\cup P_2$，$L(f,P_1)\le L(f,P^{\ast })\le U(f,P^{\ast })\le U(f,P_2)$。

性质 4：上下积分

由性质 3，集合 $\{L(f,P){\}}_P$ 有上界（任一 $U(f,P_2)$），故有上确界：

$$\underline{{\int }_a^b}f:=\underset{P}{\sup }L(f,P)(\text{下积分}).$$

类似地：

$$\overline{{\int }_a^b}f:=\underset{P}{\inf }U(f,P)(\text{上积分}).$$

由性质 3，$\underline{{\int }_a^b}f\le \overline{{\int }_a^b}f$。

直觉理解

把曲线 $y=f(x)$ 想成一座山的轮廓，分割把 $[a,b]$ 切成若干段。

• 上和 $U(f,P)$ 是用每段中最高值为高度的矩形拼成的”外接矩形面积之和”——总面积不小于曲线下方面积。
• 下和 $L(f,P)$ 是用每段中最低值为高度的矩形拼成的”内接矩形面积之和”——总面积不大于曲线下方面积。

加细分割时：每段更小，最高值不会更高（仅可能保持或下降），最低值不会更低（仅可能保持或上升）， 所以上和”挤”得更紧（递减），下和”撑”得更紧（递增）。 当 $\Vert P\Vert \to 0$，理想情形是上下和”挤压”为同一极限——即曲线下方面积的真值。

   上和              下和
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   曲线在中间，上和高估、下和低估

链接

• 前置：ANL-DEF-022 分割、ANL-DEF-005 有界、ANL-AX-001 确界原理
• 关联：ANL-DEF-023 Riemann 和（夹于上下和之间）
• 用于：ANL-DEF-026 Riemann 可积（上下积分相等的判定）
• 可积充要条件：ANL-THM-026 Darboux 准则（M2 Batch 6 待建）