变限积分函数

定义陈述

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积（ANL-DEF-026）。$f$ 的变上限积分函数定义为

$$\Phi :[a,b]\to \mathbb{R},\Phi (x):={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

类似地，变下限积分函数：

$$\Psi (x):={\int }_x^{b}f(t)dt.$$

由 ANL-DEF-026 区间可加性约定，$\Phi (a)=0$、$\Psi (b)=0$；且 $\Phi (x)+\Psi (x)={\int }_a^{b}f$（常数）。

一般化：变上下限积分

设 $u,v:[c,d]\to [a,b]$，定义

$$G(x):={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt.$$

当 $u,v$ 可导时，$G$ 的导数由 ANL-THM-031 与 ANL-THM-018 链式法则给出：

$$G^{\prime }(x)=f(v(x))\cdot v^{\prime }(x)-f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)(\text{在 }f\text{ 连续点}).$$

关键性质（详见 ANL-THM-031）

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积。则

1. $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上连续（实际上 Lipschitz 连续，常数 $=\sup |f|$）
2. 在 $f$ 的连续点 $x_0$ 处，$\Phi$ 可导且 ${\Phi }^{\prime }(x_0)=f(x_0)$
3. 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上处处连续，$\Phi$ 是 $f$ 的一个原函数（ANL-DEF-028）

证明见 ANL-THM-031。

直觉理解

把”积分”视为一种”操作”，把"$f$"作为输入，"$\Phi$"作为输出（一个新函数，下标 = 积分上限）。

几何：固定起点 $a$、变化终点 $x$，$\Phi (x)$ = 从 $a$ 到 $x$ 的曲线下方面积。 当 $x$ 增大，新增面积 $\approx f(x)\Delta x$（小矩形）——这就是 ${\Phi }^{\prime }(x)=f(x)$ 的几何来源。

与相近概念的区别

概念	关键差别
定积分 ${\int }_a^{b}f$	一个数
变限积分 $\Phi (x)={\int }_a^{x}f$	一个函数（参数 $x$ 是积分上限）
不定积分 $\int fdx=F+C$	一个函数族（ANL-DEF-028）
原函数	满足 $F^{\prime }=f$ 的具体函数（不唯一）

三者通过 ANL-THM-032 N-L 公式联系：连续 $f$ 的原函数 = 任意常数偏移的变限积分函数。 即 $F=\Phi +C⟺F^{\prime }=f$（在区间上）。

链接

• 前置：ANL-DEF-026 Riemann 可积
• 性质：ANL-THM-031 变限积分的连续性与可微性
• 与原函数：ANL-DEF-028 原函数（连续 $f$ 的原函数 = 变限积分 + $C$）
• 计算桥梁：ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式