原函数与不定积分

定义陈述

设 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。

原函数（antiderivative / primitive）：若函数 $F:I\to \mathbb{R}$ 在 $I$ 上可导（ANL-DEF-014），且

$$F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in I,$$

则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。

不定积分：$f$ 在 $I$ 上的全体原函数构成的集合，记作

$$\int f(x)dx.$$

关键性质：原函数差为常数

设 $F,G$ 都是 $f$ 在区间 $I$ 上的原函数，则

$$F(x)-G(x)=C,\forall x\in I$$

其中 $C\in \mathbb{R}$ 是某常数。

证明：$(F-G{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$ 对所有 $x\in I$。 由 ANL-THM-022 Lagrange 中值定理推论（“导函数恒为零 ⇒ 函数为常数”），$F-G$ 在区间 $I$ 上恒为常数。$■$

重要：上述结论要求 $I$ 是区间——若 $I$ 是不连通集合（如 $(0,1)\cup (2,3)$），结论可能失败： $F-G$ 仅在每个连通分量上分别为常数，整体未必同一常数。

不定积分的标准记法

由原函数差为常数，若 $F$ 是某一原函数，则全体原函数为 $\{F+C:C\in \mathbb{R}\}$。习惯写作：

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

记号细节：$C$ 称为积分常数；写"$+C$"提醒”原函数不唯一”。

与定积分的对比

概念	形式	结果是
不定积分（本条目）	$\int f(x)dx=F(x)+C$	一个函数族
定积分（ANL-DEF-026）	${\int }_a^{b}f(x)dx=I$	一个数

两者通过 ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式联系：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)\text{（其中 }F\text{ 是 }f\text{ 的任一原函数）}.$$

直觉理解

原函数 = “求导的反操作”。已知导数 $f$，反推位置函数 $F$，使其变化率符合 $f$。

物理类比：

• $f(t)=$ 速度 $v(t)$
• $F(t)=$ 位置 $s(t)$（满足 $s^{\prime }(t)=v(t)$）
• 任两条”位置曲线”同样的速度：差一个起始位置常数 $C$

这就是为什么”任意原函数”差一常数：起点可以任选。

原函数的存在性

存在性：连续函数必有原函数（详见 ANL-THM-031 变限积分给出构造）。 即：$f\in C[a,b]\Rightarrow F(x):={\int }_a^{x}f(t)dt$ 是 $f$ 的一个原函数。

不存在性：不连续函数可能没有原函数—— 反例：$f(x)=\text{sgn}(x)$（符号函数）在 $\mathbb{R}$ 上无原函数。 若 $F^{\prime }=f$，则 $F$ 在 $0$ 两侧斜率分别为 $\pm 1$，由 ANL-DEF-016 单侧导数知 $F$ 在 $0$ 不可导，矛盾。 更深结果：导函数必满足 Darboux 性质（介值性），故”跳跃间断”的 $f$ 无原函数。

常用初等函数原函数表（部分）

$f(x)$	$F(x)$（一个原函数）
$x^n$（$n\ne -1$）	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$1/x$（$x>0$）	$\ln x$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$
${\sec }^{2}x$	$\tan x$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x$

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数
• 存在性：ANL-THM-031 变限积分（连续 ⇒ 有原函数）
• 与定积分的桥梁：ANL-THM-032 Newton-Leibniz 公式
• 计算法则：ANL-THM-033 换元积分法（M2 Batch 7 待建）、ANL-THM-034 分部积分法（M2 Batch 7 待建）
• 关键引理：原函数差为常数依赖 ANL-THM-022 Lagrange 推论