反常积分综合：高斯积分 ∫₀^∞ e^{-x²}dx 与 Γ 函数联系

题目

1. 收敛性：用比较判别法（ANL-THM-035）证明 ${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ 收敛。

2. 求值（高斯积分）：证明

   $$I:={\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2},\text{从而}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$$

3. 与 Γ 函数的联系：利用 $\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-t}dt$（见 ANL-EX-014），通过换元（ANL-THM-033）证明

   $$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$$

   并由此重新得到第 2 题的结论。

4. 应用（标准正态分布）：求常数 $c$ 使 ${\int }_{-\infty }^{\infty }c{e}^{-x^2/2}dx=1$。

提示

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• 第 1 题：在 $[1,\infty )$ 上 $x^2\ge x$，故 $e^{-x^2}\le e^{-x}$，而 ${\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx$ 收敛；$[0,1]$ 上被积函数连续有界。
• 第 2 题（经典极坐标技巧）：考虑 $I^2=\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\iint }_{x,y>0}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$，化为极坐标。此步用到二重积分（多元微积分，前向引用）。
• 第 3 题：在 $\Gamma (1/2)={\int }_0^{\infty }{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt$ 中令 $t=x^2$。
• 第 4 题：令 $u=x/\sqrt{2}$ 化归到 $\int e^{-u^2}du$。

解答

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第 1 题：收敛性

被积函数 $e^{-x^2}$ 在 $[0,\infty )$ 上非负连续。拆为

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx={\int }_0^1{e}^{-x^2}dx+{\int }_1^{\infty }{e}^{-x^2}dx.$$

第一段是连续函数在有限闭区间上的定积分，存在且有限。

第二段：当 $x\ge 1$ 时 $x^2\ge x$，故 $0\le e^{-x^2}\le e^{-x}$。而

$${\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx=\underset{A\to \infty }{\lim }[-e^{-x}{]}_1^A=e^{-1}<\infty .$$

由比较判别法（ANL-THM-035，非负被积函数的比较形）知 ${\int }_1^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ 收敛。

故原反常积分（ANL-DEF-029）收敛。$■$

第 2 题：高斯积分求值

由第 1 题，$I={\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ 是有限正数。考虑

$$I^2=\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_0^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)={\iint }_{\{x>0,y>0\}}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy.$$

化为极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，第一象限对应 $r\in [0,\infty ),\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]$，$dxdy=rdrd\theta$：

$$I^2={\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta ={\int }_0^{\pi /2}d\theta \cdot {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr.$$

内层积分（第一类换元，ANL-THM-033，令 $u=r^2$）：

$${\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr={\left[-\frac{1}{2}{e}^{-r^2}\right]}_0^{\infty }=\frac{1}{2}.$$

故 $I^2=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi }{4}$，又 $I>0$，得

$$I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$$

由 $e^{-x^2}$ 偶函数，${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=2I=\sqrt{\pi }$。$■$

极坐标一步使用了二重积分换元（多元微积分），属前向引用；在单变量框架内本积分无初等原函数，无法用 Newton–Leibniz 直接求值，这是高斯积分的经典之处。

第 3 题：Γ(1/2) = √π

在 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{\infty }{t}^{-1/2}{e}^{-t}dt$ 中令 $t=x^2$（$x>0$），则 $dt=2xdx$，$t^{-1/2}=x^{-1}$：

$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{\infty }{x}^{-1}{e}^{-x^2}\cdot 2xdx=2{\int }_0^{\infty }{e}^{-x^2}dx=2I.$$

代入第 2 题 $I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，得 $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$。

反之，若已知 $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$（可由 Beta 函数 $B(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\pi$ 独立导出），则上式给出 $I=\frac{1}{2}\Gamma (\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$，与第 2 题一致。$■$

第 4 题：标准正态归一化常数

令 $u=x/\sqrt{2}$，$dx=\sqrt{2}du$：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}du=\sqrt{2}\cdot \sqrt{\pi }=\sqrt{2\pi }.$$

故归一化要求 $c\sqrt{2\pi }=1$，即

$$c=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}.$$

这正是标准正态分布密度 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$ 的归一化常数。$■$

考察点

• ANL-DEF-029 无穷限反常积分的收敛定义与”拆区间”处理
• ANL-THM-035 非负被积函数的比较判别法
• ANL-THM-033 换元法在反常积分中的应用（$t=x^2$、极坐标）
• ANL-EX-014 Γ 函数定义与 $\Gamma (1/2)$
• 无初等原函数积分的求值思想（升维 + 极坐标）

备注

高斯积分的跨学科地位：

领域	出现形式
概率论	正态分布密度归一化 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$
统计物理	配分函数中的 Gaussian 积分
量子力学	谐振子基态波函数、路径积分
数值分析	Gauss–Hermite 求积法权重

方法论提醒：单变量反常积分若无初等原函数（如 $e^{-x^2}$、$\frac{\sin x}{x}$），常需”换框架”——升维到二重积分（高斯积分）、引入参数求导（Feynman 技巧）、或借助级数/特殊函数（ANL-EX-014 的 Γ 函数）。这与可用 Newton–Leibniz 直接求值的”计算工具”类积分（ANL-THM-034 分部、ANL-THM-033 换元）形成方法上的对照。