数项级数敛散综合判定（5 题混合）

题目

判定下列级数的敛散性；若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（ANL-DEF-034）。

点击展开提示

点击展开完整解答

通项 $a_{n} = \frac{n ^{2} + 1}{n ^{4} + n + 1} \sim \frac{n ^{2}}{n ^{4}} = \frac{1}{n ^{2}}$ （ $n \to \infty$ ）。取 $b_{n} = 1/ n^{2}$ ，

n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = lim \frac{( n ^{2} + 1 ) n ^{2}}{n ^{4} + n + 1} = 1 \in (0, \infty) .

由极限比较法（ANL-THM-038），与收敛的 $p$ -级数 $\sum 1/ n^{2}$ （ $p = 2 > 1$ ）同敛散，故收敛。正项级数，绝对收敛。 $■$

$a_{n} = \frac{3 ^{n} n !}{n ^{n}}$ ，

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{3 ^{n + 1} ( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{3 ^{n} n !} = 3 \cdot \frac{( n + 1 ) n ^{n}}{( n + 1 ) ^{n + 1}} = 3 (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{3}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} \to \frac{3}{e} .

因 $\frac{3}{e} \approx 1.10 > 1$ ，由比值判别法（ANL-THM-039）发散。 $■$

$a_{n} = (\frac{n}{n + 1})^{n^{2}}$ ，

n a_{n} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = \frac{1}{( 1 + \frac{1}{n} ) ^{n}} \to \frac{1}{e} < 1.

由根值判别法（ANL-THM-040）收敛，正项级数故绝对收敛。 $■$

$a_{n} = \frac{1}{n ln n}$ 。比值、根值均 $\to 1$ （失效）。取 $f (x) = \frac{1}{x ln x}$ （ $x \geq 2$ 正、递减），令 $u = ln x$ ：

\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x ln x} = \int_{l n 2}^{\infty} \frac{d u}{u} = A \to \infty lim (ln A - ln ln 2) = + \infty.

积分发散，由积分判别法（ANL-THM-041）级数发散。 $■$

对比： $\sum \frac{1}{n ( l n n ) ^{2}}$ 收敛（ $p = 2 > 1$ ）。临界 $p = 1$ 处发散，与 $p$ -级数同构。

$b_{n} = \frac{1}{n}$ 单调递减且 $\to 0$ ，由 Leibniz 判别法（ANL-THM-042） $\sum (- 1)^{n - 1} \frac{1}{n}$ 收敛。

但绝对值级数 $\sum \frac{1}{n} = \sum \frac{1}{n ^{1/2}}$ 是 $p = \frac{1}{2} \leq 1$ 的 $p$ -级数，发散。

故原级数条件收敛（ANL-DEF-034）。 $■$

判别法选择决策树：

核心提醒：判定”是否收敛”后，对变号级数务必追问”绝对还是条件”——这决定了能否随意重排求和。