基与维数

定义陈述

设 $V$ 是 $F$ 上的线性空间，$B=\{v_1,\dots ,v_n\}\subseteq V$ 是有限个向量。

若 $B$ 同时满足：

1. 线性无关；
2. 张成 $V$，即 $\mathrm{span}(B)=V$，

则称 $B$ 是 $V$ 的一组基（basis）。基中向量的个数 $n$ 称为 $V$ 的维数（dimension），记作 ${\dim }_{F}V$ 或简写为 $\dim V$。

若 $V$ 没有有限基，则称为无限维线性空间。

直觉理解

基 = “最小生成集” = “最大无关组”。基里的每个向量都提供了新的方向（无关），且足够覆盖整个空间（张成）。

例子：${\mathbb{R}}^n$ 的标准基 $e_1=(1,0,\dots ,0),\dots ,e_n=(0,\dots ,0,1)$，$\dim {\mathbb{R}}^n=n$。

链接

• 前置：ALG-DEF-025 张成、ALG-DEF-018 线性无关
• 用于：ALG-DEF-027 向量的坐标、ALG-THM-028 基的存在性