单侧导数

定义陈述

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$x_0\in I$。

右导数：

$$f_{+}^{\prime }(x_0):=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

左导数：

$$f_{-}^{\prime }(x_0):=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

若上述单侧极限存在且有限，则称 $f$ 在 $x_0$ 处右可导（或左可导）。

可导与单侧导数的关系

设 $x_0$ 是 $I$ 的内点。则 $f$ 在 $x_0$ 可导（ANL-DEF-014）当且仅当

$$f_{+}^{\prime }(x_0)\text{ 与 }{f}_{-}^{\prime }(x_0)\text{ 都存在，且 }{f}_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0).$$

此时 $f^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=f_{-}^{\prime }(x_0)$。

证明梗概：双侧极限存在 $⟺$ 两单侧极限存在且相等（ANL-DEF-011 单侧极限性质）。 应用于差商即得。

与相近概念的区别

概念	关键差别
双侧导数 $f^{\prime }(x_0)$	要求差商极限存在（双侧逼近一致）
单侧导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$	仅要求单侧逼近的差商极限存在
闭区间端点的导数	端点处只能定义为单侧导数（如 $[a,b]$ 的左端 $a$ 只有 $f_{+}^{\prime }(a)$）

直觉理解

单侧导数 $=$ 单侧切线斜率。 把双侧导数比作”从两个方向看坡度都一致”，单侧导数则是”只看一侧”。

典型反例：$f(x)=|x|$ 在 $x_0=0$。

• 右侧 $f(x)=x$，$f_{+}^{\prime }(0)=1$
• 左侧 $f(x)=-x$，$f_{-}^{\prime }(0)=-1$
• 两者不等 ⇒ $f$ 在 $0$ 处不可导，但两个单侧导数都存在

这就是函数图像在 $x_0=0$ 处出现”尖角”的代数标志。

常见错误

• ✗ 认为”单侧导数存在 ⇒ 双侧导数存在”。 反例：$|x|$ 在 $0$ 处单侧导数都存在，但双侧导数不存在。
• ✗ 把单侧导数与”导函数的单侧极限” ${\lim }_{x\to x_0^{+}}{f}^{\prime }(x)$ 混为一谈。 二者是不同的概念：前者是差商的单侧极限，后者是导函数的单侧极限。 即使后者存在且与前者数值相等，也是借助”导函数连续性”才得到的结论。

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数、ANL-DEF-011 单侧极限
• 关键判定：可导 $⟺$ 左右导数相等
• 用于：闭区间端点处可导性的讨论