可导 ⇒ 连续

条件

设 $f:I\to \mathbb{R}$，$x_0\in I$，$f$ 在 $x_0$ 可导（ANL-DEF-014）。

结论

$f$ 在 $x_0$ 连续（ANL-DEF-012）。

反向不成立：连续 ⇏ 可导（见下方反例与「常见错误」）。

几何/直觉理解

可导意味着图像在该点有唯一切线；存在切线就要求图像在该点”无断、无尖、无垂直”。 “无断”恰是连续的几何含义——所以可导自然蕴含连续。

反过来：连续只要求”图像不断”，但允许”尖角”（如 $|x|$ 在 $0$ 处）或”垂直切线”（如 $\sqrt[3]{x}$ 在 $0$ 处）， 这两类几何缺陷都让”切线斜率”无法定义——故连续不能反推可导。

证明

证明： 由 $f$ 在 $x_0$ 可导，

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0).$$

考察函数增量：

$$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\cdot \Delta x.$$

两边取 $\Delta x\to 0$ 极限。右端是两个有极限的函数之积：

• $\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\to f^{\prime }(x_0)$（已知）
• $\Delta x\to 0$

由 ANL-THM-009 函数极限的四则运算（乘积），

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=f^{\prime }(x_0)\cdot 0=0.$$

即 ${\lim }_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)$，亦即

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

由 ANL-DEF-012，$f$ 在 $x_0$ 连续。$■$

常见错误

• ✗ 误把本定理逆用：“连续 ⇒ 可导”。 反例 1：$f(x)=|x|$ 在 $x_0=0$ 处连续（${\lim }_{x\to 0}|x|=0=f(0)$）， 但 $f_{-}^{\prime }(0)=-1\ne 1=f_{+}^{\prime }(0)$，故不可导（参见 ANL-DEF-016）。 反例 2：$f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $x_0=0$ 处连续，但 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x{)}^{1/3}}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}(\Delta x{)}^{-2/3}=+\infty$， 导数不存在（“垂直切线”）。
• ✗ 由”$f^{\prime }(x_0)$ 数值很大”推断”$f$ 在 $x_0$ 不连续”。 导数可任意大（如 $f(x)=100x$ 处处导数 $=100$），但仍处处连续。 导数不存在与不连续是两件事——本定理刚好排除了”可导但不连续”这一情形。
• ✗ 把”$f$ 在 $x_0$ 处可导，$f^{\prime }$ 在 $x_0$ 处不连续”当作矛盾。 反例：$f(x)=x^2\sin (1/x)$（$x\ne 0$），$f(0)=0$。可证 $f^{\prime }(0)=0$ 存在， 但 $f^{\prime }$ 在 $0$ 处不连续。本定理仅断言 $f$ 自身的连续性，不涉及 $f^{\prime }$ 的连续性。

推论与应用

• 推论：若 $f$ 在 $x_0$ 不连续，则 $f$ 在 $x_0$ 不可导（逆否命题）。 这是判定不可导的快速工具——只需找一个不连续点。
• 应用：ANL-EX-008 用定义求初等函数导数（首先确认连续）

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数、ANL-DEF-012 函数连续
• 直接使用：ANL-THM-009 函数极限的四则运算
• 反例：ANL-DEF-016 单侧导数（$|x|$ 反例）