反函数求导

条件

设 $f:I\to J$ 满足：

1. $f$ 在区间 $I$ 上严格单调且连续（ANL-DEF-012，故 $f^{-1}:J\to I$ 存在且连续）；
2. 在 $x_0\in I$（设为内点）处 $f$ 可导（ANL-DEF-014），且 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$。

结论

$f^{-1}$ 在 $y_0:=f(x_0)$ 处可导，且

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.$$

Leibniz 记号：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$（形式上”分子分母互换”）。

几何/直觉理解

反函数的图像是原函数图像沿 $y=x$ 的镜面对称。 镜面反射把斜率 $k$ 映射为 $1/k$（设 $k\ne 0$）。 故 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 的切线斜率 $f^{\prime }(x_0)$ 翻转为 $f^{-1}$ 在 $(y_0,x_0)$ 的切线斜率 $1/f^{\prime }(x_0)$。

当 $f^{\prime }(x_0)=0$ 时切线水平，反射后变为垂直切线， 此时 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 处不可导（与导数为 $\infty$ 一致）—— 这是定理排除 $f^{\prime }(x_0)=0$ 的几何理由。

证明

证明： 由条件 1，$f^{-1}$ 在 $J$ 上连续单调。设 $y\in J$，$y\ne y_0$。 记 $x:=f^{-1}(y)$，故 $y=f(x)$ 且 $x\ne x_0$（由 $f^{-1}$ 单射）。

考察反函数差商：

$$\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}=\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}.$$

当 $y\to y_0$，由 $f^{-1}$ 在 $y_0$ 连续，$x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0$。

由 $f$ 在 $x_0$ 可导且 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\to f^{\prime }(x_0)\ne 0(x\to x_0).$$

由 ANL-THM-009 极限的商法则（分母极限非零），

$$\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.■$$

常见错误

• ✗ 用链式法则”快速证明”：对 $f^{-1}(f(x))=x$ 两边求导得 $(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))\cdot f^{\prime }(x)=1$。 此推导预设了 $f^{-1}$ 可导——而可导性正是要证明的，构成循环论证。 正确做法：先用差商法证明可导性，再写出导数公式。链式法则可作”启发性记忆”。
• ✗ 漏掉"$f^{\prime }(x_0)\ne 0$"条件。 反例：$f(x)=x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格递增可导，但 $f^{\prime }(0)=0$。 $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$ 在 $y_0=0$ 处导数 $={\lim }_{y\to 0}\frac{y^{1/3}}{y}=\lim y^{-2/3}=+\infty$，不存在。
• ✗ 漏掉”严格单调”条件。 $f^{-1}$ 的存在与连续都依赖严格单调（ANL-THM-013 介值定理 + 单射性）。 无单调时甚至 $f^{-1}$ 都未必是函数。

推论与应用

• 常用反函数导数：

  函数 $f$	反函数 $f^{-1}$	$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)$
  $\sin x$（$[-\pi /2,\pi /2]$）	$\arcsin y$	$\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}$
  $\tan x$（$(-\pi /2,\pi /2)$）	$\arctan y$	$\frac{1}{1+y^2}$
  $e^x$（$\mathbb{R}$）	$\ln y$（$y>0$）	$\frac{1}{y}$
  $x^n$（$x>0$, $n\ge 2$）	$y^{1/n}$	$\frac{1}{n}{y}^{1/n-1}$

• 应用：ANL-THM-018 链式法则与本定理合用可证一切初等函数的求导规则
• 与微分几何中”局部坐标变换”思想相通：可逆变换 + 不退化 ⇒ 逆变换光滑

链接

• 前置：ANL-DEF-014 导数、ANL-DEF-012 函数连续、ANL-THM-013 介值定理（保证 $f^{-1}$ 存在）、ANL-THM-016 可导 ⇒ 连续
• 关联：ANL-THM-018 链式法则