级数的 Cauchy 收敛准则

条件

级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ （ $a_{n} \in R$ ）。

$\sum a_{n}$ 收敛（ANL-DEF-033）当且仅当：对任意 $ε > 0$ ，存在 $N$ ，使得对一切 $m > n > N$ ，
$k = n + 1 \sum m a_{k} = ∣ a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{m} ∣ < ε .$

即：任意一段足够靠后的连续项之和都可任意小。

级数收敛要求部分和数列 ${S_{n}}$ 收敛。在 $R$ 中”数列收敛 $⟺$ 数列是 Cauchy 列”（ANL-THM-007），而部分和的差恰是一段连续项之和：

S_{m} - S_{n} = k = n + 1 \sum m a_{k} .

于是” ${S_{n}}$ 是 Cauchy 列”翻译成级数语言，就是”任意靠后的项段和可任意小”。

直觉上：收敛 $⟺$ 无论从多靠后开始、连续累加多少项，新增的总贡献都微不足道。这把对”总和”的判定，转化为对”局部尾段”的控制，无须知道和是多少——这正是 Cauchy 准则的威力所在。

证明： 设 ${S_{n}}$ 为部分和数列。由定义（ANL-DEF-033）， $\sum a_{n}$ 收敛 $⟺$ ${S_{n}}$ 收敛。

由数列的 Cauchy 收敛准则（ANL-THM-007）， ${S_{n}}$ 收敛 $⟺$ ${S_{n}}$ 是 Cauchy 列，即

\forall ε > 0, \exists N, \forall m, n > N : ∣ S_{m} - S_{n} ∣ < ε .

不妨设 $m > n$ （ $m = n$ 时差为 $0$ ； $m < n$ 时对称）。此时

S_{m} - S_{n} = k = 1 \sum m a_{k} - k = 1 \sum n a_{k} = k = n + 1 \sum m a_{k} .

代入即得： $\sum a_{n}$ 收敛 $⟺$ $\forall ε > 0, \exists N, \forall m > n > N : \sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} < ε$ 。 $■$

✗ 只验证相邻两项之差：取 $m = n + 1$ 得 $∣ a_{n + 1} ∣ < ε$ ，这只是通项趋零（ANL-THM-036），是必要非充分条件。反例：调和级数 $\sum 1/ n$ ，相邻项 $\to 0$ 满足，但取 $m = 2 n$ 时 $k = n + 1 \sum 2 n \frac{1}{k} \geq n \cdot \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2} \neq \to 0,$ 项段和不趋于零，故发散。必须对一切 $m > n$ 的项段和成立。
✗ 把绝对值放进求和号：误用 $\sum_{k = n + 1}^{m} ∣ a_{k} ∣ < ε$ 作为收敛准则。这其实是绝对收敛（ANL-DEF-034）的准则，比收敛强。条件收敛级数满足原准则却不满足此式。
✗ 在 $Q$ 等不完备空间套用。等价性依赖 $R$ 完备性（同 ANL-THM-007）。

必要条件（ANL-THM-036）：取 $m = n + 1$ 即得 $a_{n} \to 0$
绝对收敛 ⇒ 收敛（ANL-DEF-034）：由 $\sum_{k = n + 1}^{m} a_{k} \leq \sum_{k = n + 1}^{m} ∣ a_{k} ∣$ 直接推出
无须求和即可判敛散，是 Abel/Dirichlet 等判别法的理论基础